Một số bài tập mặt cầu ngoại tiếp hình chóp - Nguyễn Thanh Hậu

Nguyễn Thanh Hậu - Phương pháp giải toán hình học không gian

Sáng kiến kinh nghiệm 1

P

A1

A2

A3

A4

O

S

H

PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN

MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP.

A. LỜI MỞ ĐẦU

Bài toán mặt cầu ngoại tiếp hình chóp xuất hiện nhiều trong các đề kiểm tra,

các đề thi vào đại học. Qua thực tế giảng dạy chúng tôi thấy rằng: Nhiều học

sinh tỏ ra lúng túng khi gặp các bài toán có liên quan đến mặt cầu.

Bài viết này cùng trao đổi với các em và bạn đồng nghiệp một vài kỹ thuật giải

toán thông qua các ví dụ về mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.Các vấn đề thường gặp

liên quan đến bài toán mặt cầu ngoại tiếp hình chóp kiểu như:Chứng minh các

điểm nào đó cùng nằm trên một mặt cầu? Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu

ngoại tiếp hình chóp? Hay tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp hay thể

tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp?....

B. NỘI DUNG

I. Cơ sở lí thuyết.

Định lí:

Điều kiện cần và đủ để hình chóp SA1A2…An có mặt cầu ngoại tiếp là đa giác

đáy A1A2…An phải là đa giác nội tiếp.

Chứng minh:

1. Điều kiện cần:

Giả sử tồn tại mặt cầu tâm O ngoại tiếp hình chóp

SA1A2…An , tức là ta có OS=OA1=OA2=…=OAn (1)

Kẻ OH vuông góc mặt phẳng đáy (A1A2…An )

HA1=HA2=…=HAn (2)

Đẳng thức (2) chứng tỏ đáy A1A2…An là một đa giác nội tiếp.

Nguyễn Thanh Hậu - Phương pháp giải toán hình học không gian

Sáng kiến kinh nghiệm 2

2. Điều kiện đủ

Giả sử A1A2…An là một đa giác nội tiếp. Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp

đáy. Qua H dựng đường thẳng  vuông góc (A1A2…An ). Vẽ mặt phẳng

trưng trực (P) của một cạnh bất kì

của hình chóp ( chẳng hạn cạnh SA1).

Do  không song song (P) nên giả sử (P) =O

Khi đó ta thấy OA1=OA2=…=OAn, OA1=OS.

Từ đó suy ra O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đa giác SA1A2…An .

Chú ý: Từ định lí trên ta rút ra các kết luận sau:

Nói riêng mọi hình chóp tam giác (tứ diện), mọi hình chóp đều, đều có mặt

cầu ngoại tiếp

II. Các phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Bài toán: Xác định tâm I và tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

SA1A2…An.

Phương pháp 1: Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SA1A2…An.

- Xác định tâm O đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy A1A2…An

- Dựng trục  của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy A1A2…An.(  là đường

thẳng đi qua tâm O đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và vuông góc với mặt

phẳng đáy.)

- Vẽ mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên bất kì của hình chóp.

- Giả sử I= (P) khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp cần dựng.

Lưu ý:

a) trong trường hợp sau đây mặt phẳng trung trực có thể thay bằng đường trung

trực.

+ Khi hình chóp đều (vì  đi qua đỉnh S)

+ Khi hình chóp có một cạnh vuông góc với mặt phẳng đáy

b) Có thể phát hiện trục  dựa vào tính chất của một số hình chóp đặc biệt rồi

chứng minh thay vì dựng .

c) Khi dựng mặt phẳng trung trực của cạnh bên nên chọn cạnh bên của hình chóp

đồng phẳng với trục  để dễ dàng tính toán bán kính R.

Nguyễn Thanh Hậu - Phương pháp giải toán hình học không gian

Sáng kiến kinh nghiệm 3

Phương pháp 2: Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SA1A2…An.

- Dựng trục 1  của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy A1A2…An.(  là

đường thẳng đi qua tâm O đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và vuông góc

với mặt phẳng đáy.)

- Dựng trục 2  của đường tròn ngoại tiếp tam giác của mặt bên sao cho 1 

2  đồng phẳng

- Giả sử I= 1  2  , khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp.

Phương pháp 3:

Ta chứng minh các đỉnh của hình chóp cùng nhìn hai đỉnh còn lại của hình chóp

dưới một góc vuông hoặc tất cả các đỉnh của hình chóp cùng nhìn hai điểm nào

đó dưới một góc vuông.

Phương pháp 4: Trong không gian ta dự đoán điểm đặc biệt I nào đó rồi chứng

minh I cách đều các đỉnh của hình chóp.

III. Cách xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp của một số

hình chóp đặc biệt.

1. Trường hợp hình chóp có các cạnh bên bằng nhau.

Giả sử SA=SB=SC=SD. Ta dựng ( ). SO ABCD  Trong tam giác SAO kẻ trung

trực của SA cắt SO tại I; Ta được I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp.

Trường hợp này để tính bán kính ta sử …