Bài tập Mặt cầu - Khối cầu - Nguyễn Đăng Dũng

BÀI GIẢNG 1. MẶT CẦU, KHỐI CẦU

.....PHẦN 1...

Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng

Bài toán 1. Xác định mặt cầu Phương pháp:

 Muốn chứng minh nhiều ểm cùng thuộc một mặt cầu ta chứ m h các ểm ó cù cách ều một ểm O cố ịnh một kho ng 0 R  khô ổi.

 Muốn chứng minh một ờng thẳng D tiếp xúc với một mặt cầu ( ; ) S O R , ta chứng minh

( , ) d O D R  .

 Muốn chứng minh một mặt phẳng ( ) P tiếp xúc với một mặt cầu ( ; ) S O R , ta chứng minh

( ,( )) d O P R  .

 Tập hợp các ểm M tro khô a hì oạn thẳng AB cố ị h d ới một góc vuông là mặt cầu ờng kính AB.

Ví dụ 1: Cho hình chóp . S ABCDcó đáy là nửa hình lục giác đều, 2 , AB a BC CD DA a    ,

 , SA ABCD SA h  . Mặt phẳng qua A vuông góc với SB, cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’.

Chứng minh rằng các điểm A,B,C,D, B’,C’,D’ cùng thuộc một mặt cầu. Xác định tâm và bán kính mặt cầu đó Giải Ta có các điểm ', ', ' B C D lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh , , SB SC SD. Do ABCDlà nửa lục giác đều với 2 , AB a BC CD DA a    , nên nếu gọi O là trung điểm

của AB thì 1 OA OB OC OD   

Suy ra ACB  vuông tại C, ADB  vuông tại D. Vì   , ' BC SA BC AC BC SAC BC AC      

Mặt khác   ' ' ' ' AC SC AC SBC AC BC     

Tương tự ta cũng có ' ' AD BD  Do đó ' AB B  vuông tại  ' ' 2 B OA OB OB   

' AC B  vuông tại  ' ' 3 C OA OB OC   

' AD B  vuông tại  ' ' 4 D OA OB OD   

Từ (1), (2), (3), (4) ta có ' ' ' OA OB OC OD OB OC OD a        Vậy rằng các điểm A,B,C,D, B’,C’,D’ cùng thuộc một mặt cầu tâm O bánh kính bằng a. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC đều , cạnh a, nội tiếp đường tròn tâm ( ) O chứa trong mặt phẳng (P). Vẽ đường kính AD của đường tròn ( ) O , dựng  SD P  và . SD a 

1) Chứng minh rằng SAC  và SAB  vuông. 2) Xác định tâm mặt cầu đi qua 5 điểm , , , , S A B C D .

Giải 1) Do ADlà đường kính của (O) nên 0 90 DCA CA DC     Mà   SD ABC SD CA   

  CA SDC CA SC    

SAC là tam giác vuông tại C. Tương tự ta có

  AB BD AB SDB AB SB AB SD         

SAB  là tam giác vuông tại B. (đpcm) 2). Gọi K là trung điểm cuả SA Theo chứng minh câu 1 ta có

SAC là tam giác vuông tại C

KA KS KC   

SABlà tam giác vuông tại B

KA KS KB   

SADlà tam giác vuông tại D

KA KS KD   

KA KA KC KD KS     

Vậy K là tâm mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S Bài tập

1. Cho hình chóp đều . S ABC , cạnh đáy AB a , cạnh bên hợp với đáy một góc bằng 60.

Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Đáp số : 2 3 a R  .

2. Cho mặt cầu đường kính 2 AB R  Cắt mặt cầu bằng một mặt phẳng vuông góc với AB sao cho (0 2 ) AH x x R    ta được thiết diện là đường tròn ( ) T . Gọi MNPQ là

hình vuông nội tiếp đường tròn ( ) T .

a) Tính theo R và x bán kinh đường tròn ( ) T , cạnh của hình vuông MNPQ và các

đoạn thẳng , AM BM .Đáp số: Cạnh hình vuông : 2 2. 2xR x  , 2 AM xR  ;

2 4 2 . BM R xR  

b) Tính thể tích của khối đa diện tạo bởi hai hình chóp AMNPQ và BMNPQ. Tính x

để thể tích này đạt giá trị lớn nhất.   2 4 2 3 V R xR x   ; 3 ax 4 . 3 M V R x R   

3. Trong mặt phẳng ( ) P cho hình thang cân ABCD với 2 AB a  , BC CD DA a   .

Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng ( ) P ta lấy một điểm di động S . Một mặt phẳng ( ) Q qua A vuông góc với SB cắt , , SB SC SD tại , , P Q R theo thứ tự

đó.

a) CMR 7 điểm , , , , , , A B C D P Q R luôn thuộc một mặt cầu cố định. Tính diện tích mặt cầu đó.Đáp số: Mặt cầu ờng kính AB và 2 4 . S a  

b) CMR tứ giác CDRQ là một tứ giác nội tiếp và đường thẳng QR luôn đi qua một

điểm cố định khi S chạy trên nửa đường thẳng Ax .

c) Cho 3 SA a  . Tính theo a thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp .S APQR và diện

tích của tứ giác APQR.Đáp số:

2 3 45 7 , 4 224 APQR a a R S   .

4. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với

2 , AB a  , ( ), AD DC a SA ABC SA a     .

a) Tìm tâm mặt cầu ( ) S qua 4 điểm , , , S A C D . Tìm chu vi đường tròn giao tuyến

của ( ) SAB với mặt cầu ( ) S .Đáp số: 2 P a  …