Phương pháp tọa độ hóa trong không gian

HÌNH HỌC 12. CHƯƠNG III

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA TRONG KHÔNG GIAN

DẠNG 1. GẮN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ VÀO CÁC HÌNH ĐA DIỆN CÓ SẴN MÔ HÌNH TAM DIỆN VUÔNG

Phương pháp Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp. Trong đó gốc tọa độ là giao điểm chung của ba

đường đôi một vuông góc với nhau, các tia , , Ox Oy Oz lần lượt nằm trên ba đường đó.

Bước 2: Xác định các toạ độ điểm toạ độ của các véc tơ có liên quan. Bước 3: Sử dụng các kiến thức về toạ độ để giải quyết các bài toán có liên quan. Loại 1. Hình chóp có đáy là tam giác

Ví DỤ 1 Cho tứ diện ABCD có ( ) AD ABC ⊥ , ( ) ( ) ( ) 4 ; 3 ; 5 AC AD cm AB cm BC cm = = = = . Tính khoảng

cách từ A đến mặt phẳng ( ) BCD .

Tam giác ABC có 3, 4, 5 AB AC BC = = = nên tam giác ABC vuông tại A . Do đó tứ diện ABCD có ba cạnh , , AB AC AD đôi một vuông góc. Chọn hệ trục như hình vẽ. Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( ) 0;0;0 , 3;0;0 , 0;4;0 , 0;0;4 A B C D

Phương trình mặt phẳng ( ): 1 4 3 3 12 0 3 4 4 x y z BCD x y z + + = ⇔ + + − = .

Vậy ( ) ( )

4.0 3.0 3.0 12 12 , 16 9 9 34 d A BCD + + − = = + +

.

Ví DỤ 2 Cho hình chóp ABC O. có ba cạnh OC OB OA , , đôi một vuông góc và a OC OB OA = = = Gọi M là trung điểm cạnh AB .Tính góc tạo bởi hai vectơ BC và OM 

.

Chọn hệ trục toạ độ Oxyz như hình vẽ ta có (0;0;0), (0; ;0),B(a;0;0),C(0;0; ), ( ; ;0) 2 2 a a O A a a M

Ta có : ( a;0;a) ; ( ; ;0) 2 2 a a BC OM = − =  

2

0 . 1 2 cos( , ) ( , ) 120 2 | |.| | 2 2. 2

a BC OM BC OM BC OM BC OM a a

−

⇒ = = = − ⇒ =

    .

Loại 2. Hình chóp có đáy là hình thang . Ví DỤ 3 Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D , 2 , AB a CD DA a = = = . Cạnh bên 2 SA a = và vuông góc với đáy ABCD . Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng ( ) SBC và

( ) SCD .

Giải :

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho ( ) ( ) ( ) ( ) 0;0;0 , ;0;0 , 0;2 ;0 , 0;0;2 A O D a B a S a ≡ , thì ( ) ; ;0 C a a

Ta có ( ) ( ) ( ) 0;2 ; 2 , ; ; 2 , ;0; 2 SB a a SC a a a SD a a = − = − = −   

, ( ) 2 2 2 , 2 ; 2 ; 2 SB SC a a a  = − − −   

,

( ) 2 2 , 2 ;0; SC SD a a  = − −   

. Suy ra mặt phẳng ( ) SBC có véc tơ pháp tuyến ( ) 1 1;1;1 n = 

, mặt phẳng

( ) SCD có véc tơ pháp tuyến ( ) 2 2;0;1 n = 

.

C

A

D

B

S

Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 3 cos , cos , 3. 5 15 SBC SCD n n = = = 

.

Ví DỤ 4 Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D , 2 , AB a CD DA a = = = . Cạnh bên 2 SA a = và vuông góc với đáy ABCD . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng , BD SC .

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho ( ) ( ) ( ) ( ) 0;0;0 , ;0;0 , 0;2 ;0 , 0;0;2 A O D a B a S a ≡ , thì ( ) ; ;0 C a a

Ta có ( ) ( ) ( ) ; 2 ;0 , ; ; 2 , 0;2 ; 2 BD a a SC a a a SB a a = − = − = −   

, ( ) 2 2 2 , 4 ;2 ;3 BD SC a a a  =   

,

3 , 2 BD SC SB a   = −   

, 2 , 29 BD SC a  =    . Suy ra ( )

3

2 , 2 2 , 29 29 ,

BD SC SB a a d BD SC a BD SC

    = = =    





Ví DỤ 5 Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D , 2 , AB a CD DA a = = = . Cạnh bên 2 SA a = và vuông góc với đáy ABCD . Gọi M là trung điểm SD , G là trọng tâm tam giác SBC ∆ . Tính thể tích khối tứ diện ACMG

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho ( ) ( ) ( ) ( ) 0;0;0 , ;0;0 , 0;2 ;0 , 0;0;2 A O D a B a S a ≡ , thì ( ) ; ;0 C a a

2 ;0; , ; ; 2 3 3 a a a M a G a            

.

C

A

D

B

S

G M

C

A

D

B

S