Chủ đề phương trình mặt phẳng ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán

Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023

1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh

CHỦ ĐỀ 2 : PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

❖ Trong không gian phương trình dạng với đuợc gọi là

phương trình tổng quát của mặt phẳng

▪ Phương trình mặt phẳng (P) : với . Có vecto pháp

tuyến là

▪ Mặt phẳng đi qua điểm và nhận vectơ , làm vectơ pháp

tuyến có dạng

▪ Nếu có cặp vectơ không cùng phương ,có giá song song

hoặc nằm trên thì vectơ pháp tuyến của được xác định

❖ Các trường hợp riêng của mặt phẳng :

Trong không gian cho mp( : , với . Khi đó:

▪ khi và chỉ khi ( đi qua gốc tọa độ.

▪ khi và chỉ khi song song với trục

▪ khi và chỉ khi song song mp

▪ . Đặt Khi đó

❖ Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Trong không gian cho mp( : và ( ’):

▪ ( ) cắt ( ’)  ( ) // ( ’)  và

▪ ( ) ≡ ( ’) 

▪ Đặc biệt: ( ) ( ’)

❖ Góc giữa hai mặt phẳng:

Gọi là góc giữa hai mặt phẳng

và

▪

Oxyz 0 Ax By Cz D + + + = 2 2 2 0 A B C + + 

( ): 0 P Ax By Cz D + + + = 2 2 2 0 A B C + + 

( ; ; ) n A B C =

( ) P ( ) ; ; o o o o M x y z ( ; ; ) n A B C = 0 n 

( ) ( ) ( ) ( ) 0 : 0 o o P A x x B y y C z z − + − + − =

( ) P 1 2 3 1 2 3 ( ; ; ) b ( ; ; ) a a a a b b b = =

( ) P ( ) P , n a b   =  

Oxyz )  0 Ax By Cz D + + + = 2 2 2 0 A B C + + 

0 D = ) 

0, 0, 0, 0 A B C D =    ( )  Ox

0, 0, 0, 0 A B C D = =   ( )  ( ) Oxy

, , , 0 A B C D  , , D D D a b c A B C = − = − = − ( ): 1 x y z a b c  + + =

Oxyz )  0 Ax By Cz D + + + =  ' ' ' ' 0 A x B y C z D + + + =

 

' '

' '

' '

AB A B

BC B C

CB C B

       

 

' '

' '

' '

AB A B

BC B C

CB C B

=   =   = 

' ' AD A D 

 

' '

' ' ' ' ' '

AB A B

BC B C CB C B AD A D

=   =  =   = 

 ⊥  1 2 . 0 . ' . ' . ' 0 n n A A B B C C  =  + + =

 ( ) 0 90 o o   

( ): 0 P Ax By Cz D + + + = ( ): ' ' ' ' 0 Q A x B y C z D + + + =

P

P 2 2 2 2 2 2 P Q

n . A.A' . ' . ' os = cos(n , )

n . n . ' ' '

Q

Q

n B B C C c n

A B C A B C  + + = =

+ + + +

LÍ THUYẾT

Hình học tọa độ Oxyz

Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 2

Lời giải Chọn B

Phương trình mặt phẳng là: .

Mà: . Vậy mặt phẳng luôn đi qua .

Lời giải Chọn A

Mặt cầu có tâm và bán kính .

Gọi là bán kính đường tròn và là hình chiếu của lên .

Đặt ta có

Vậy thể tích khối nón tạo được là .

( ) MNP 1 x y z m n p + + =

1 1 1 1 1 1 3 1 3 3 3 m n p m n p + + =  + + = ( ) MNP 1 1 1 ; ; 3 3 3 E     

( ) S ( ) 1; 2;3 I − 2 3 R =

r ( ) C H I ( ) Q

IH x = 2 2 r R x = − 2 12 x = −

( ) ( ) 1. . 3 C V IH S = ( )

2 2 1. . 12 3 x x  = − ( ) 3 1 12 3 x x  = −

VÍ DỤ MINH HỌA

VÍ DỤ 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba điểm , và

Với , , là các số dương thay đổi thỏa . Mặt phẳng luôn đi qua

điểm:

A. . B. . C. . D. .

Oxyz ( ) ;0;0 M m ( ) 0; ;0 N n ( ) 0;0; P p

m n p 1 1 1 3 m n p + + = ( ) MNP

( ) 3;3;3 F 1 1 1 ; ; 3 3 3 E     

1 1 1 ; ; 3 3 3 H   − − −     ( ) 1;1;1 G

VÍ DỤ 2: Trong không gian , cho mặt cầu và mặt phẳng

. Gọi là mặt phẳng song song với và cắt theo thiết diện là

đường tròn sao cho khối nón có đỉnh là tâm của mặt cầu và đáy là hình tròn giới hạn bởi

có thể tích lớn nhất. Phương trình của mặt phẳng là

A. . B. .

C. . D. .

Oxyz ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 : 1 2 3 12 S x y z − + + + − =

( ): 2 2 3 0 P x y z + −− = ( ) Q ( ) P ( ) S

( ) C ( ) C

( ) Q

2 2 1 0 2 2 11 0 x y z x y z + −−=   + −+ = 

2 2 6 0 2 2 3 0 x y z x y z + −− =   + −+ = 

2 2 4 0 2 2 17 0 x y z x y z + −− =   + −+ = 

2 2 2 0 2 2 8 0 x y z x y z + −+ =   + −+ = 