Bài toán về phương trình mặt cầu

CHỦ ĐỀ 17: BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

 Dạng 1: Lập phương trình mặt cầu

Phương pháp giải:

• Phương trình chính tắc của mặt cầu ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 : S x a y b z c R − + − + − =

• Phương trình tổng quát của mặt cầu ( ) 2 2 2 : 2 2 2 S x y z ax by cz d + + − − − + với tâm ( ) ; ; I a b c bán kính

2 2 2 R a b c d = + + − .

Chú ý:

- Nếu A, B thuộc mặt cầu ( ) S IA IB R ⇒ = = .

- Nếu IA IB = thì ta có:

2 2 2 2 2. . . 2 OB OA AB OI OB OA AB OI − = − ⇔ =  

Chứng minh: Ta có: ( ) ( )

2 2 2 2 2 2 IA IB IA IB IA IB IO OA IO OB = ⇔ = ⇔ = ⇔ + = +      

( )

2 2 2 2 2 . . 2 OB OA IO OB OA OB OA AB OI − ⇔ − = − ⇔ =   

.

- Với bài toán: Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D ta sẽ làm như sau:

Gọi ( ) ; ; I x y z là tâm mặt cầu thì: IA IB IC ID = = = khi đó ( ) ; ; I x y z là nghiệm của hệ phương trình:

2 2

2 2

2 2

. 2

. 2

. 2

OB OA AB OI IA IB OC OA IA IC AC OI IA ID OD OA AD OI

 − =   =  −   = ⇔ = →     =   − = 







CASIO suy ra tọa độ điểm I.

Trong đó ( ) 0;0;0 O là gốc tọa độ, giải hệ phương trình suy ra tọa độ điểm I.

Ví dụ 1: Lập phương trình của mặt cầu ( ) S biết:

a) Tâm I thuộc Oy, đi qua ( ) ( ) 1;1;3 ; 1;3;3 A B − .

b) Tâm I thuộc Oz, đi qua ( ) ( ) 2;1;1 ; 4; 1; 1 A B −− .

Lời giải

a) Gọi ( ) 0; ;0 I y ta có: ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 9 1 3 9 2 14 IA IB y y y R IA = ⇔+ − + = + − + ⇔ = ⇒ = =

Suy ra ( ) ( ) 2 2 2 : 2 14 S x y z + − + = .

b) Gọi ( ) 0;0; I z ta có: ( ) ( ) 2 2 2 2 4 1 1 16 1 1 IA IB z z = ⇔ + + − = + + +

( ) 4 12 3 0;0; 3 ; 21 z z I R ⇔ = − ⇔ = −⇒ − = .

Phương trình mặt cầu ( ) ( ) 2 2 2 : 3 21 S x y z + + + =

Ví dụ 2: Lập phương trình mặt cầu ( ) S biết:

a) Tâm I thuộc

1

:

2

x t

d y t

z t

= +   =  = 

và đi qua ( ) ( ) 3;0; 1 ; 1;4;1 A B − .

b) Tâm I thuộc 2 1 : 1 1 2 x y z d − − = = − và đi qua ( ) ( ) 3;6; 1 ; 5;4; 3 A B − − .

Lời giải

a) Gọi ( ) 1 ; ;2 I t t t + là tâm mặt cầu ta có:

( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 2 1 IA IB t t t t t t = ⇔ − + + + = + − + −

( ) 12 12 1 2;1;2 11 t t I R ⇔− = − ⇔= ⇒ ⇒ = .

Phương trình mặt cầu là: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 11 x y z − + − + − = .

b) Gọi ( ) 2 ;1 ;2 I t t t − + là tâm mặt cầu ta có:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 5 2 1 3 3 2 3 IA IB t t t t t t = ⇔ + + − + + = + + − + +

( ) 16 0 0 2;1;0 3 3 t t I R ⇔− = ⇔= ⇒ ⇒ =

Phương trình mặt cầu là: ( ) ( ) 2 2 2 2 1 27 x y z − + − + = .

Ví dụ 3: Lập phương trình mặt cầu ( ) S biết ( ) S

a) Đi qua 4 điểm ( ) ( ) ( ) ( ) 2;4; 1 ; 1; 4; 1 ; 2;4;3 ; 2;2; 1 A B C D − − − − .

b) Đi qua 4 điểm ( ) ( ) ( ) ( ) 3;3;0 ; 3;0;3 ; 0;3;3 ; 3;3; 3 A B C D − .

Lời giải

Áp dụng: IA IB IC ID = = = thì ( ) ; ; I x y z là nghiệm của hệ phương trình:

2 2

2 2

2 2

. 2

. 2

. 2

OB OA AB OI

OC OA AC OI

OD OA AD OI

 − =   −  =    − = 







.

a) Gọi ( ) ; ; I x y z là tâm mặt cầu ta có:

2 2

2 2

2 2

. 45 2 2 . 1 2 3 . 2

OB OA AB OI x IA IB OC OA IA IC AC OI z IA ID y OD OA AD OI

 − = −   =   =   −   = ⇔ = ⇒ =       = =    − =  







Phương trình mặt cầu: ( ) ( )

2 2 2 45 2421 3 1 2 4 x y z   + + − + − =    

.

b) Gọi ( ) ; ; I x y z là tâm mặt cầu ta có:

( )( ) ( )( )

( )( )

3 2 0; 3;3 ; ; 0 3 3;0;3 ; ; 0 2 9 3 0;0; 3 ; ; 2 2

x x y z

x y z y

x y z z

= −    − =    − = ⇔ = −       − = = −  

.

Phương trình mặt cầu:

2 2 2 3 3 3 171 2 2 2 4 x y z       + + + + + =            

.

Ví dụ 4: Lập phương trình mặt cầu ( ) S biết

a) ( ) S đi qua ( ) ( ) ( ) 2;0;1 ; 1;0;0 ; 1;1;1 A B C và ( ): 2 0 I P x y z ∈ + + − = .

b) ( ) S đi qua ( ) ( ) ( ) 2;4;1 ; 3;1; 3 ; 5;0;0 A B C − − − và ( ): 2 3 0 I P x y z ∈ + − + = .

Lời giải

Gọi ( ) ; ; I x y z là tâm mặt cầu

a) Ta có:

( )( ) ( )( )

2 2

2 2

. 2 1;0; 1 ; ; 2 1 . 1;1;0 ; ; 1 0 2 1 2 2 0

OB OA AB OI x y z x OC OA AC OI x y z y z x y z x y z

 − =  − − = −   =   −   = ⇔ − = − …