Chuyên đề trắc nghiệm vị trí tương đối, góc và khoảng cách

CHỦ ĐỀ 14: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI, GÓC, KHOẢNG CÁCH

VẤN ĐỀ 1. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI

1) Vị trí tương đối của 2 mặt phẳng

Cho 2 mặt phẳng ( ) : 0 P Ax By Cz D + + + = và ( ) : ' ' ' ' 0 Q A x B y C z D + + + =

Ta có:

( ) ( ) ' ' ' '

( ) / /( ) ' ' ' '

A B C D P Q A B C D A B C D P Q A B C D

≡ ⇔ = = =

⇔ = = ≠

(P) cắt (Q) : : ': ': ' A B C A B C ⇔ ≠

Đặc biệt: ( ) ( ) ( ) ( ) . 0 . ' . ' . ' 0 P Q P Q n n A A B B C C ⊥ ⇔ = ⇔ + + = 

Nếu ( ) / /( ) P Q thì vecto pháp tuyến ( ) P n 

của mặt phẳng (P) cùng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q).

Ngược lại vectơ pháp tuyến ( ) Q n 

của mặt phẳng (Q) cùng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Nếu ( ) ( ) P Q ⊥ thì ( ) ( ) P Q n n ⊥  

.

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng ( ) : 2 0 P x y z − + − = song song với mặt phẳng

2 2 ( ) : 2 ( 1) (3 1) 4 0 Q x m y m z m − + + − − = khi:

A. 1. m = B. 1. m = − C. 1 . 2 m m =   = 

D. Đáp án khác.

Lời giải

Đáp án: Chọn B

Ta có:

2 2 2 1 3 1 4 ( ) / /( ) 1. 1 1 1 1 m m m P Q m + − − ⇒ = + ≠ ⇔ = − −

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng ( ) : 2 1 0 P x y z − + + = trùng với mặt phẳng

2 2 ( ) :(2 1) ( 1) (2 ) 3 2 0 Q m x m y m z m − − + + − + − = khi:

A. 1. m = − B. 2. m = C. 1. m = D. Đáp án khác.

Lời giải

Đáp án: Chọn C

Ta có:

2 2 2 1 1 2 3 2 ( ) ( ) 1. 1 2 1 1 m m m m P Q m − + − − ≡ ⇒ = + = ⇔ =

Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng 2 2 ( ) : ( 2) 2 0 P m x y m z − + − + = và

2 ( ) : 2 2 1 0 Q x m y z + − + = . Với m là tham số, m∈. Mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q) khi m

thỏa mãn

A. 2. m = B. 1. m = C. 2. m = D. 3. m =

Lời giải

Đáp án: Chọn C

Các vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng lần lượt là: 2 2 2 1 2 ( ; 1; 2), (2; ; 2) n m m n m − − −  

2 2 2 2 1 2 ( ) ( ) . 0 2 2( 2) 0 4 2 P Q n n m m m m m ⊥ ⇔ = ⇔ − − − = ⇔ = ⇔ = 

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng ( ) : 2 3 5 0 P x ay z + + − = và

( ) : 4 ( 4) 1 0. Q x y a z − − + + = Tìm a để (P) và (Q) vuông góc với nhau.

A. 0. a = B. 1. a = C. 1. 3 a = D. 1. a = −

Lời giải

Đáp án: Chọn D

Ta có (2; ;3) P n a = 

và (4; 1; ( 4)) Q n a = −− + 

khi đó

( ) ( ) . 8 3( 4) 0 1 P Q P Q n n a a a ⊥ ⇔ = − − + = ⇔ = − 

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 2 mặt phẳng ( ) : 1 0 x y z α + − + = và

( ) : 2 2 2 0. x my z β − + + − = Tìm m để ( ) α song song với ( ) β

A. 2. m = B. 5. m = C. Không tồn tại. D. 2. m = −

Lời giải

Đáp án: Chọn C

Hai mặt phẳng đã cho song song nên 2 2 2 1 1 1 1 m − − = = ≠ − do không tồn tại giá trị của tham số m

Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng ( ) :3 3 1 0 P x y z + − + = và hai mặt phẳng

( ) :( 1) ( 2) 5 0 Q m x y m z − + − − + = . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hai mặt phẳng ( ),( ) P Q vuông

góc với nhau.

A. 1 . 2 m = B. 1 . 2 m = − C. 2. m = D. 3. 2 m = −

Lời giải

Đáp án: Chọn B

Để mp ( ) ( ) 1 ( ) ( ) . 0 3( 1) 3 2 0 . 2 P Q P mp Q n n m m m ⊥ ⇔ = ⇔ − + + + = ⇔ = − 

2) Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng d có phương trình chính tắc , o o o x x y y z z a b c − − − = = phương trình tham số