Chuyên đề trắc nghiệm tích có hướng của hai vectơ và ứng dụng

CHỦ ĐỀ 12: TÍCH CÓ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG

1) Công thức định thức: . a b ad bc c d = −

2) Định nghĩa tích có hướng của 2 vectơ: Cho 2 vectơ: ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 ;y ; ; ; ;z . u x z v x y = =  

Khi đó tích có hướng của 2 vectơ ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 ;y ; ; ; ;z u x z v x y = =  

ký hiệu: ,u v     

là một vectơ và được tính

như sau: ( ) 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 , ; ; ; ; y z z x x y u v y z y z z x z x x y x y y z z x x y

   = = − − −      



3) Tính chất: , ; , ; , , u v u u v v u v v u         ⊥ ⊥ = −              

Độ dài của vectơ tích có hướng , . .sin( , ). u v u v u v  =     

Hai vectơ ;u v 

cùng phương , 0 (0;0;0). u v   ⇔ =    

Ba vectơ ; ; a b c 

đồng phẳng khi , . 0. a b c   =   

Từ đó suy ra 4 điểm A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện khi 3 vectơ ; ; AB AC AD 

không đồng phẳng

hay , . 0 AB AC AD   ≠   

và 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng khi , . 0. AB AC AD   =   

4) Ứng dụng:

 Diện tích hình bình hành : , . ABCD ABCD S AB AD   =   

 Diện tích tam giác 1 : , . 2 ABC ABC S AB AC   =   

 Thể tích khối hộp . ' ' ' ' . ' ' ' ': , . ' . ABCD A B C D ABCD A B C D V AB AD AA   =   

 Thể tích tứ diện ABCD: 1 , . . 6 ABCD V AB AC AD   =   

Ví dụ 1: Tính tích có hướng của các cặp vectơ sau:

a) ( ) ( ) 1;0; 2 ; 0;1;3 . a b = − =  

b) ( ) ( ) 3;1; 1 ; 2;1; 2 . a b = − = −  

c) ( ) ( ) 3;1;4 ; 1; 1;2 . a b = − = −  

d) ( ) ( ) 1;3;5 ; 2; 1;3 . a b = = −  

Lời giải:

a) ( ) 0 2 2 1 1 0 , ; ; 2; 3;1 . 1 3 3 0 0 1 a b  − −   = = −      



b) ( ) 1 1 1 3 3 1 , ; ; 1;4;1 . 1 2 2 2 2 1 a b  − −   = = −     − −  



c) ( ) 1 4 4 3 3 1 , ; ; 6;10;2 . 1 2 2 1 1 1 a b  − −   = =     − −  



d) ( ) , 4;13; 7 . a b  = − −   

Ví dụ 2:

a) Cho 3 vectơ ( ) ( ) ( ) 2; 1;1 ; ;3; 1 ; 1;2;1 . u v m w = − = − =   

Tìm m để 3 vectơ đồng phẳng.

b) Cho 3 vectơ ( ) ( ) ( ) 1;2;3 ; 2;1; ; 2; ;1 . u v m w m = = =   

Tìm m để 3 vectơ không đồng phẳng.

Lời giải:

a) Ta có: ( ) , 2; 2; 6 , . 2 2 4 6 3 8 u v m m u v w m m m     = − + + ⇒ = −+ + + + = +      

Ba vectơ ; ; u v w 

đồng phẳng 8 3 8 0 . 3 m m ⇔ + = ⇔ = −

b) Ta có: ( ) 2 2 , 2 3;6 ; 3 , . 4 6 6 3 10 9 u v m m u v w m m m m m     = − − − ⇒ = − + − − = − + −      

Để 3 vectơ ; ; u v w 

không đồng phẳng thì 2 1 , . 0 10 9 0 . 9

m u v w m m m

≠    ≠ ⇔− + − ≠ ⇔   ≠ 



Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 4 điểm: (1;0;1); ( 1;1;2); A B −

( 1;1;0); (2; 1; 2). C D − −−

a) Chứng minh rằng A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.

b) Tính thể tích tứ diện ABCD. Suy ra độ dài đường cao của tứ diện qua đỉnh A.

Lời giải:

a) Ta có: ( 2;1;1); ( 2;1; 1); (1; 1; 3). AB AC AD = − = − − = −−   

Suy ra , ( 2; 4;0) , . 2 0 ; ; AB AC AB AC AD AB AC AD     = − − ⇒ = ≠ ⇒       

không đồng phẳng

Do đó A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.

b) Thể tích tứ diện ABCD là: 1 1 , . ( ). 6 3 ABCD V AB AC AD đvtt   = =   

Lại có: (0;0; 2); (3; 2; 4) , ( 4; 6;0) BC BD BC BD   = − = − − ⇒ = − −     

3 1 13 , 13 ( ,( )) . 2 13

ABCD BCD BCD

V S BC BD d A BCD S ∆ ∆   ⇒ = = ⇒ = =   