Chuyên đề trắc nghiệm tọa độ của điểm và véctơ

CHỦ ĐỀ 11: TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VÉC TƠ

I. Hệ trục tọa độ trong không gian

Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox; Oy; Oz vuông góc với

nhau từng đôi một và chung một điểm góc O. Gọi ; ; i j k 

là các

vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox; Oy; Oz. Hệ ba trục như

vậy gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian.

Điểm O được gọi là gốc tọa độ.

Các mặt phẳng ( ) ( ) ( ) ; ; Oxy Oyz Oxz đôi một vuông góc với nhau

được gọi là các mặt phẳng tọa độ.

Chú ý: ; ; i j k 

là các vectơ đơn vị đôi một vuông góc nên

2 2 2 1 i j k = = =   

và . . . 0 i j j k k i = = =   

.

II. Tọa độ, vectơ

1) Định nghĩa: Nếu ( ) ; ; . . . u x y z u x i y j z k = ⇔ = + +     

2) Các công thức về vectơ

Cho 2 vectơ: ( ) 1 1 1 ; ; u x y z = 

và ( ) 2 2 2 ; ; v x y z = 

ta có:

 Tổng và hiệu của hai vectơ: ( ) 1 2 1 2 1 2 ; ; u v x x y y z z ± = ± ± ±  

.

 Tích của một vectơ với một số: ( ) ( ) 1 1 1 ; ; x ku k ky kz k = ∈  .

 Hai vectơ bằng nhau:

1 2

1 2

1 2

x x

u v y y

z z

=   = ⇔ =   = 

 

.

Chú ý: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0;0;0 ; 1;0;0 ; 0;1;0 ; 0;0;1 i j k = = = =    

.

 Hai vectơ ; u v 

cùng phương với nhau ( )

1 2

1 1 1 2 2 2 2 2 1 2

0 .

x x k x y z u kv k y ky x y z z kz

=   ⇔ = ≠ ⇔ = ⇒ = =   = 

 

(Với 0 k > thì ; u v 

cùng hướng; ngược lại 0 k < thì ; u v 

ngược hướng)

 Tích vô hướng của 2 vectơ kí hiệu: 1 2 1 2 1 2 . u v x x y y z z = + + = 

hằng số.

⇒Hai vectơ ; u v 

vuông góc với nhau 1 2 1 2 1 2 ; 0 0 u v x x y y z z ⇔ = ⇔ + + = 

 Độ dài vectơ: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 , . u x y z v x y z = + + = + +  

 Điều kiện để 3 điểm A, B, C thẳng hàng

( ) ( ) ( )

.

. .

.

xB A C B

B A C A

B A B A

x k x x

AB k AC y y k y y

z z k y y

− = −   = ⇔ − = −   − = − 

 

 Góc giữa 2 vectơ: ( )

1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2

. cos ; .

x x y y z z u v u v u v x y z x y z

+ + = =

+ + + +

 

 (với ; 0 u v ≠  

).

Chú ý: Khi . 0 u v > 

thì ( ) ( ) cos ; 0 ; u v u v > ⇒  

là góc nhọn, ngược lại nếu . 0 u v < 

thì

( ) ( ) cos ; 0 ; u v u v < ⇒  

là góc tù.

III. Tọa độ của điểm

1) Định nghĩa:

Điểm ( ) ; ; . . . M x y z OM x i y j z k ⇔ = + +    

(trong đó x là hoành độ, y là tung độ và z là cao độ).

2) Tính chất:

Cho 2 điểm ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 ; ; ; ; ; A x y z B x y z ta có:

Vectơ AB 

có tọa độ là: ( ) 2 1 2 1 2 1 ; ; ; AB x x y y z z = − − − 

vectơ ( ) 1 2 1 2 1 2 ; ; BA x x y y z z = − − − 

.

Độ dài đoạn thẳng AB bằng độ dài vectơ AB và: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 AB AB x x y y z z = = − + − + − 

Trung điểm của đoạn AB là M có tọa độ là:

1 2

1 2

1 2

2

2

2

xM

M

M

x x

y y y

z z z

+  =   +  =   +  = 

.

Khi đó: 1 2 1 2 1 2 ; ; . 2 2 2 x x y y z z M + + +      

Nếu ( ) 3 3 3 ;y ; C x z và ABC tạo thành một tam giác có trọng tâm là G thì:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

3

. 3

3

xG

G

G

x x x

y y y y

z z z z

+ +  =   + +  =   + +  = 

Ví dụ 1: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 3 vectơ ( ) ( ) ( ) 1;2;3 ; 0; 1;1 ; 1;5;2 . a b c = = − =   

a) Tìm tọa độ các vectơ u a b c = + −    

và 2 3 v a b c = + +    

.

b) Tính . ; . a b b c 

và .a c 

.

c) Tính ( ) cos ; a b 

và ( ) cos ; b c 

.

Lời giải: