Bài tập phương pháp tọa độ trong không gian - Diệp Tuân

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Hệ Tọa Độ Trong Không Gian

1 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

3 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

A.LÝ THUYẾT I. Hệ trục tọa độ trong không gian Oxyz

1. Định nghĩa: Hệ gồm ba trục , , Ox Oy Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian.

Điểm O gọi là gốc của hệ tọa độ, Trục Ox là trục hoành, Oy là trục tung và Oz là trục cao.

2. Véctơ đơn vị trên các trục , , Ox Oy Oz lần lượt là

, , , i j k Ta có:

. . . 0. i j j k k i   

1 i j k   

3. Tọa độ của véc tơ:

Với véctơ u trong hệ tọa độ Oxyz luôn tồn tại duy nhất bộ ( ; ; ) x y z thỏa: . . . . u x i y j z k   

Khi đó: Véc tơ u có tọa độ là ( ; ; ) x y z 4. Tọa độ của điểm:

Xét điểm M thỏa mãn . . . OM x i y j z k    thì điểm ( ; ; ). M x y z

Ngược lại, điểm ( ; ; ) M x y z thì . . . OM x i y j z k    . 5. Tính chất – quy tắc – phép toán trên véc tơ. Cho 1 1 1 2 2 2 ( ; ; ), ( ; ; ) a x y z b x y z   và số thực k . Khi đó

Tổng và hiệu của hai vec tơ: 1 2 1 2 1 2 ( ; ; ) a b x x y y z z     

Tích của véc tơ với một số thực k là 1 1 1 ( ; ; ) ka kx ky kz 

Sự cùng phương của hai vec tơ

1 2

1 1 1

1 2 2 2 2

1 2

/ /

x x x y z a b a kb k a b y y x y z z z

                

.

 Chú ý: Nếu   2 2 2 0 0, 0 x y z    thì   1 1 1 0 0, 0 x y z   

Độ dài một vec tơ

2 2 2 1 1 1 | | a x y z   

Tích vô hướng của hai vec tơ 1 2 1 2 1 2 .a b x x y y z z   

 Nhận xét: 1 2 1 2 1 2 0 a b x x y y z z     

Góc của hai véctơ . cos( , )

| || | a b a b

a b 

6. Tính chất – Phép toán của điểm. Cho ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ) A A A B B B C C C D D D A x y z B x y z C x y z D x y z . Khi đó:

Véc tơ của hai điểm ( ; ; ) B A B A B A AB x x y y z z    

Khoảng cách hay độ dài của hai điểm 2 2 2 ( ) ( ) ( ) B A B A B A AB AB x x y y z z       

z

y

x

k

j i O

§BÀI 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Hệ Tọa Độ Trong Không Gian

2 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

Trung điểm I của đoạn AB : ; ; 2 2 2

A B A B A B x x y y z z I         

Trọng tâm G của ABC  : ; ; 3 3 3

A B C A B C A B C x x x y y y z z z G            

Trọng tâm G của tứ diện ABCD:

; ; 4 4 4

A B C D A B C D A B C D x x x x y y y y z z z z G                7. Ví dụ minh họa.

 Ví dụ 1. Trong không gian với Oxyz cho ba véc tơ 2 3 5 , 3 4 , 2 a i j k b j k c i j      

a). Xác định tọa độ các véc tơ , , a b c , 3 2 x a b   và tính x

b). Tìm giá trị của x để véc tơ   2 1; ;3 2 y x x x     vuông góc với véc tơ 2b c 

c). Chứng minh rằng các véc tơ , , a b c không đồng phẳng và phân tích véc tơ   3;7; 14 u  

qua ba véc tơ , , a b c .

Lời giải. ..................................................................................................

..................................................................................................

..................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

..................................................................................................

..................................................................................................

..................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

......................... …