Các dạng bài tập VDC phương trình đường thẳng

BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

A. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Phương trình đường thẳng

Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Cho đường thẳng . Vectơ 0    u gọi là vectơ chỉ phương của

đường thẳng  nếu giá của nó song song hoặc trùng với .

Cho đường thẳng  đi qua   0 0 0 ; ; M x y z và có vectơ chỉ

phương là   ; ;   u a b c .

Chú ý:

+ Nếu

 u là vectơ chỉ phương của 

thì   . 0   k u k cũng là vectơ chỉ

phương của .

+ Nếu đường thẳng  đi qua hai điểm

A, B thì



AB là một vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của đường thẳng

Phương trình tham số của đường thẳng  có dạng

0

0

0

, (1)

          



x x at

y y bt t

z z ct

Cho đường thẳng  có phương trình

(1) thì

+   ; ;   u a b c là một vectơ chỉ

phương của .

+ Với điểm  M thì

  0 0 0 ; ;    M x at y bt z ct trong đó t

là một giá trị cụ thể tương ứng với

từng điểm M.

Phương trình chính tắc

Nếu , , 0  a b c thì phương trình chính tắc của đường thẳng  có

dạng

 0 0 0 2      x x y y z z a b c

2. Khoảng cách

Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Cho đường thẳng  đi qua 0 M , có vectơ chỉ phương

 u và điểm  M . Khi đó để tính khoảng

cách từ M đến  ta có các cách sau:

Cách 1: Sử dụng công thức:  

0, ,

    



 MM u d M d u .

Cách 2:

+ Lập phương trình mặt phẳng  P đi qua M vuông góc với .

+ Tìm giao điểm H của  P với .

+ Khi đó độ dài MH là khoảng cách cần tìm.

Cách 3:

+ Gọi  N d , suy ra tọa độ N theo tham số t .

+ Tính 2 MN theo t .

+ Tìm giá trị nhỏ nhất của tam thức bậc hai.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng chéo nhau  đi qua 0 M có vectơ chỉ phương

 u và   đi qua 0 M có vectơ

chỉ phương   u . Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng  và   được tính theo các cách sau:

Cách 1: Sử dụng công thức:  

0 0 , . , ,

           



 u u M M d u u .

Cách 2: Tìm đoạn vuông góc chung MN . Khi đó độ dài MN là khoảng cách cần tìm.

Cách 3: Lập phương trình mặt phẳng  P chứa qua  và song song với  . Khi đó khoảng cách

cần tìm là khoảng cách từ một điểm bất kì trên   đến  P .

3. Vị trí tương đối

Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Trong không gian Oxyz, hai đường thẳng

0 0 0 1 :      x x y y z z d a b c đi qua   1 0 0 0 ; ; M x y z có

vectơ chỉ phương   1 ; ;   u a b c , và

0 0 0 2 :            x x y y z z d a b c đi qua   2 0 0 0 ; ; M x y z có

vectơ chỉ phương   2 ; ;     u a b c .

Để xét vị trí tương đối của 1d và 2 d , ta sử dụng

phương pháp sau:

Phương pháp hình học

+ 1d trùng 2 d

3 1 2 1 2 1 2 3

1 2 1 2

/ /              

  a a a u u b b b M d M d

+ 1 2

1 2

1 1 2

, 0 / / , 0

u u d d u M M

        

 

  hoặc

3 1 2 1 2 1 2 3

1 2 1 2

||             

  a a a u u b b b M d M d

Ta có thể dùng phương pháp đại số để xét vị

trí tương đối: Dựa vào số nghiệm của hệ

phương trình các đường thẳng.

Chú ý trường hợp vô nghiệm

+ Nếu 1 2 ;  u u cùng phương thì 1 2 // d d .

+ Nếu 1 2 ;  u u không cùng phương thì 1 2 ; d d

chéo nhau.