Các dạng bài tập VDC hệ tọa độ trong không gian

CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Oxyz

BÀI 1: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

A. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Hệ tọa độ trong không gian

Hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc trong không gian gồm ba trục

x'Ox, y'Oy, z'Oz vuông góc với nhau từng đôi một.

Gọi , , i j k  lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz.

Điểm O được gọi là gốc tọa độ.

Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) là các mặt phẳng tọa độ.

Không gian gắn với hệ tọa độ Oxyz được gọi là không gian Oxyz.

2. Tọa độ của vectơ

Trong không gian Oxyz, cho vectơ u



. Khi đó

  u x;y;z u xi yj zk.          

Chú ý:

1)   0 0;0;0 .  

2)

1 1

2 2

3 3

a b

a b a b

a b

         

 

3) a  cùng phương  

1 1

2 2

3 3

a kb

a k b b 0 b

a kb

      

 



 

Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Cho hai vectơ     1 2 3 1 2 3 ; ; , ; ; a a a a b b b b     và k là số thực tùy ý.

Khi đó ta có:

   1 1 2 2 3 3 ; ; . a b a b a b a b       

   1 1 2 2 3 3 ; ; . a b a b a b a b       

   1 2 3 . ; ; k a ka ka ka  

   1 1 2 2 3 3 . . . . . a b a b a b a b    

Ứng dụng của tích vô hướng:

 1 1 2 2 3 3 a .b a a b a.b 0 .b a .b 0          

 2 2 2 2 1 2 3 a a.a a a a .      



2 2 2 2 1 2 3 a a a a a .      

  

1 1 2 2

2 2 2 2 2 2 1 2

3 3

3 1 2 3

a b a b a a.b cos a;b a . b a a . b b

b

a b

   



  

   

Với a 0,b 0.     

3. Tọa độ của một điểm

Trong không gian Oxyz, cho điểm M tùy ý.

Khi đó M x;y;z OM ( xi yj zk ) .        

Tính chất

Nếu     A A A B B B A x ;y ;y và B x ;y ;y thì

  B A B A C A AB x x ;y y ;z z .    

Khi đó       2 B A B 2 2 B A A AB AB x x y y z z .        

Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là

A B A B A B x x y y z z ; ; . I 2 2 2         

Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là

C C A B A A C B B x x y y z z ; ; . 3 3 x y 3 z G        





 

Tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD là

A B C D A B C D A B C D x x x x y y y y z z z z G ; ; 4 4 4               

4. Tích có hướng của hai vectơ

Định nghĩa

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ   1 2 3 b b ;b ;b .  

Tích có hướng của hai vectơ a và b   là một

vectơ vuông góc với cả hai vectơ a và b   , kí hiệu là a,b      và được xác định như sau:

2 3 3 1 1 2

2 3 3 1 1 2

a a a a a a a,b ; ; b b b b b b

        



  2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 a a b ;a b a b b a b ; b a .    

Tính chất

 a  cùng phương với a b 0. b ,        

 a ,b      vuông góc với cả hai vectơ a và b

  .

Chú ý: Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M

(x; y; z) ta có các khẳng định sau:

   0; 0 . 0; M O M  

   M Oxy z 0    , tức là   M x;y;0 .

   M Oyz x 0    , tức là   M 0;y;z .

   M Oxz y 0    , tức là   M x;0;z .

M Ox y z 0     , tức là   M x;0;0 .

M Oy x z 0     , tức là   M 0;y;0 .

M Oz x y 0     , tức là   M 0;0;z .