Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian
Báo tài liệu không phù hợp
Xem trước nội dung
2
BÀI 1: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1) Tọa độ của điểm và của vecto a) Hệ tọa độ: Hệ gồm 3 trục 'x Ox, 'y Oy và 'Oz z trong không gian vuông góc với nhau từng đôi một tại O được gọi là hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxyz (gọi tắt là hệ tọa độ Oxyz). Khi đó O được gọi là gốc tọa độ. * Lƣu ý: Vecto đơn vị của của các trục 'x Ox, 'y Oy và
'Oz z
lần lượt là ,i j
và k
.
b) Tọa độ của 1 điểm và 1 vecto:
+ Tọa độ của 1 điểm: Với một điểm M tùy ý trong không gian Oxyz, ta luôn có:
OM xi y j zk
Khi đó bộ ba (x;y;z)là duy nhất và là tọa độ điểm M:
M (x;y;z) hoặc M(x;y;z)
(x là hoành độ; y là tung độ và z là cao độ) + Tọa độ của 1 vecto:
Tương tự, với một a
bất kì trong không gian Oxyz,
ta luôn có:
1 2 3 a a i a j a k
Khi đó bộ ba 1 2 3 (a ;a ;a )là duy nhất và là tọa độ a
:
1 2 3 ( ; ; ) a a a a
hoặc 1 2 3 ( ; ; ) a a a a
* Lƣu ý: Tọa độ điểm M chính là tọa độ của vecto OM
2) Các phép toán và tính chất trong hệ tọa độ Oxyz
Cho điểm A( ; ; ) A A A x y z , B( ; ; ) B B B x y z và 1 2 3 ( ; ; ) a a a a
, 1 2 3 ( ; ; ) b b b b
, khi đó ta có:
Tọa độ vecto AB
( ; ; ) B A B A B A AB x x y y z z
Độ dài đoạn AB 2 2 2 ( ) ( ) ( ) B A B A B A AB x x y y z z
Độ dài vecto a
2 2 2 1 2 3 a a a a
Tổng hoặc hiệu của 2 vecto 1 1 2 2 3 3 ( ; ; ) a b a b a b a b
Tích của 1 vecto với 1 số 1 2 3 1 2 3 ( ; ; ) ( ; ; ) ka k a a a ka ka ka
3
Hai vecto bằng nhau
1 1
2 2
3 3
a b
a b a b
a b
Tích vô hƣớng của 2 vecto 1 1 2 2 3 3 . . . . ab a b a b a b
Hai vecto cùng phƣơng (
a b
)
3 1 2
1 2 3
a a a b b b
Hai vecto vuông góc ( a b
) 1 1 2 2 3 3 . 0 . . . 0 ab a b a b a b
Tích có hƣớng của 2 vecto
3 3 2 1 1 2
2 3 3 1 1 2 , ; ; a a a a a a a b b b b b b b
Ba vecto , , a b c
đồng phẳng , . 0 a b c
Ba vecto , , a b c
không đồng
phẳng
, . 0 a b c
Tọa độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k ( 1 k )
; ; 1 1 1
A B A B A B x kx y ky z kz M k k k
Trung điểm M của AB ; ; 2 2 2
A B A B A B x x y y z z M
Trọng tâm M của tam giác ABC
; ; 3 3 3
A B C A B C A B C x x x y y y z z z M
Trong tâm M của tứ diện ABCD
; ; 4 4 4
A B C D A B C D A B C D x x x x y y y y z z z z M
Góc giữa 2 vecto ,a b
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3
, cos
. .
a b a b a b a b
a b a a a b b b
Diện tích ABC
1 , 2 ABC S AB AC
Diện tích hình bình hành ABCD
, ABCD S AB AD
4
Thể tích của tứ diện SABC
1 , . 6 ABCD V AB AC AS
Thể tích của hình hộp ABCD.A’B’C’D’
. ' ' ' ' , . ' ABCD A B C D V AB AD AA
* Lƣu ý:
- Tọa độ của 3 vecto đơn vị: (1;0;0) i
, (0;1;0) j
và (0;0;1) k
- Tọa độ của điểm nằm trên các trục: + Trục Ox: M(x;0;0) + Trục Oy: M(0;y;0) + Trục Oz: M(0;0;z) - Tọa độ của điểm nằm trên các mặt phẳng tọa độ: + Mặt Oxy: M(x;y;0)
+ Mặt Oxz: M(x;0;y) + Mặt Oyz: M(0;y;z) (Quy tắc nhớ: Thiếu trục tọa độ nào thì tọa độ đó bằng 0)
BÀI TẬP Phương pháp: Hiểu rõ lý thuyết, nắm vững các công thức trong tọa độ không gian cùng với các trường hợp vận dụng của từng công thức. Ngoài ra ta cần lưu ý các vấn đề thường gặp sau:
VÍ DỤ:
Ví dụ 1: Cho các vecto a(2;3; 5)
, b(0; 3;4)
và c(1; 2;3)
.Tìm tọa độ của vecto n 3a 2b c
.
Hướng dẫn:
- Tọa độ của vecto n
:
Ta có: n 3a 2b c 3(2;3; 5) 2(0; 3;4) (1; 2;3)
=(6;9;-15)+(0;-6;8)-(1;-2;3)=(6+0-1;(9+(-6)-(-2));((-15)+8-3)) =(5;5;-10)
Trên đây là phần đầu tài liệu — bấm Đọc sách để xem đầy đủ.
.png "Toàn cảnh hình học giải tích không gian trong đề thi THPT môn Toán (2017 - 2020)")
