Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm vị trí tương đối

Trang 1/27

CHỦ ĐỀ 5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Vị trí tương đối của 2 mặt phẳng:

Cho 2 mp 1 1 1 1 ( ): 0 A x B y C z D α + + + = và 2 2 2 2 ( ) : 0 A x B y C z D β + + + =

 ( )//( ) α β ⇔ 1 1 1 1

2 2 2 2

A B C D A B C D = = ≠

 ( ) ( ) α β ≡ ⇔ 1 1 1 1

2 2 2 2

A B C D A B C D = = =

 ( ) α cắt ( ) β ⇔ 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

A B B C A C A B B C A C ≠ ∨ ≠ ∨ ≠

Đặc biệt: ( ) ( ) α β ⊥ ⇔ 1 1 2 2 3 3 0 A B A B A B + + =

2. Vị trí tương đối của 2 hai đường thẳng:

Cho 2 đường thẳng:

0 1

0 2

0 3

:

x x a t

d y y a t

z z a t

= +   = +  = + 

qua M, có VTCP da

0 1

0 2

0 3

':

x x a t

d y y a t

z z a t

′ ′ ′ = +   ′ ′ = +   ′ ′ = + 

qua N, có VTCP ' da

• Cách 1:

• Cách 2:

Xé hệ phương trình:

0 1 0 1

0 2 0 2

0 3 0 3

(*)

x a t x a t

y a t y a t

z a t z a t

′ ′ ′ + = +   ′ ′ + = +   ′ ′ + = + 

 Hệ có nghiệm duy nhất ⇔ d và ' d cắt nhau

 Hệ vô nghiệm ⇔ d và ' d song song hoặc chéo nhau

 Hệ vô số nghiệm ⇔ d và ' d trùng nhau

Lưu ý: Chỉ sử dụng cách này khi cần xác định giao điểm của d và ' d .

[ ] ' , d d a a  

[ ] ' , 0 d d a a =    [ ] ' , 0 d d a a ≠   

, da MN      

' , . d d a a MN       

, 0 da MN  =      , 0 da MN  ≠     

' , . 0 d d a a MN   =     

' , . 0 d d a a MN   ≠     

' d d ≡ // ' d d d d caét ' d d cheùo '

Trang 2/27

 Chú ý:

 d song song d′ ⇔

d d a ka

M d

′ =   ′ ∉ 

 

 d trùng d′ ⇔

d d a ka

M d

′ =   ′ ∈ 

 

 d cắt d′ ⇔ [ ] , . 0

d d a khoâng cuøng phöông a

a a MN

′  ′ = 

   

 d chéo d′ ⇔ [ ] , . 0 d d a a MN ′ ≠   

3. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng:

Cho đường thẳng:

0 1

0 2

0 3

:

x x a t

d y y a t

z z a t

= +   = +  = + 

và mp ( ) : 0 Ax By Cz D α + + + =

Xé hệ phương trình:

0 1

0 2

0 3

(1) (2) (*) (3) 0 (4)

x x a t y y a t z z a t Ax By Cz D

= +   = + = +   + + + = 

 (*) có nghiệm duy nhất ⇔ d cắt ( ) α

 (*) có vô nghiệm ⇔ d // ( ) α

 (*) vô số nghiệm ⇔ d ⊂ ( ) α

4. Vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng:

Cho mặt cầu ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 : – – – S x a y b z c R + + = tâm ( ) ; ; I a b c bán kính R và mặt phẳng

( ): 0 P Ax By Cz D + + + = .

• Nếu ( ) ( ) , d I P R > thì mp ( ) P và mặt cầu ( ) S không có điểm chung.

• Nếu ( ) ( ) , d I P R = thì mặt phẳng ( ) P và mặt cầu ( ) S tiếp xúc nhau.Khi đó (P) gọi là tiếp diện của

mặt cầu (S) và điểm chung gọi là tiếp điểm

• Nếu ( ) ( ) , d I P R < thì mặt phẳng ( ) P và mặt cầu ( ) S cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn có

phương trình : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2

0

x a y b z c R

Ax By Cz D

 − + − + − =  + + + = 

Trong đó bán kính đường tròn 2 2 ( ,( )) r R d I P = − và tâm H của đường tròn là hình chiếu của tâm I mặt

cầu ( ) S lên mặt phẳng ( ) P .

5. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu Cho mặt cầu ( ) S có tâm I , bán kính R và đường thẳng ∆. Để xét vị trí tương đối giữa ∆ và ( ) S ta tính ( ) , d I ∆ rồi so sánh với bán kính R .

 ( ) , d I R ∆> : ∆ không cắt ( ) S

 ( ) , d I R ∆= : ∆ tiếp xúc với ( ) S .