Hình học giải tích không gian - Đặng Thành Nam

Chuyên đề 12: Hình học giải tích trong không gian

690 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Email : dangnamneu@gmail.com Yahoo: changtraipkt Mobile: 0976266202

CHUYÊN ĐỀ 12:

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

692 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Email : dangnamneu@gmail.com Yahoo: changtraipkt Mobile: 0976266202

CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ

Tích vô hướng của hai véc tơ 1 1 1 1 ( , , ) v x y z  

và véc tơ 2 2 2 2 ( , , ) v x y z  

là một số

1 2 1 2 1 2 1 2 . v v x x y y z z    

. Tích có hướng của hai véc tơ là một véc tơ được xác định bởi

1 1 1 1 1 1 1 2

2 2 2 2 2 2 , , , y z z x x y v v y z z x x y

        



.

Có 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 , ; , ; , . .sin v v v v v v v v v v                    

.

Diện tích của tam giác tạo bởi ba điểm , , A B C không thẳng hang 1 , 2 ABC S AB AC      

.

Tích hỗn tạp của ba véc tơ 1 2 3 ( , , ) v v v 

là một số và được ký hiệu là  

1 1 1

1 2 3 2 2 2

3 3 3

, ,

x y z

D v v v x y z

x y z

 

Ba véc tơ đồng phẳng khi và chỉ khi   1 2 3 , , 0 D v v v  

.

Thể tích tứ diện tạo bởi 4 đỉnh , , , A B C D được tính bởi công thức 1 1 ( , , ) , . 6 6 ABCD V D AB AC AD AB AC AD        

Thể tích của hình hộp dựng trên ba véc tơ 1 2 3 , , v v v 

được xác định bởi công thức

1 2 3 1 2 3 ( , , ) ( , ). V D v v v D v v v    

.

Cho đường thẳng  d có véc tơ chỉ phương ( , , ) u a b c  

và mặt phẳng ( ) P có véc tơ pháp

tuyến ( , , ) n A B C  

, khi đó góc tạo bởi  , d P được xác định bởi

2 2 2 2 2 2 . sin =

. .

u n Aa Bb Cc

u n A B C a b c    

   



  .

Cho hai đường thẳng   1d có véc tơ chỉ phương   , , u a b c  

và đường thẳng   2 d có véc tơ

chỉ phương ( ', ', ') v a b c  

, khi đó góc  giữa    1 2 , d d được xác định bởi

2 2 2 2 2 2 . ' ' ' os

. . ' ' '

u v aa bb cc c

u v a b c a b c     

   



 .

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  d đi qua điểm 0 M và có véc tơ chỉ phương u



được xác định bởi

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

693 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

  

0, ;

MM u d M d

u

    



 ( lưu ý là tử thức là độ dài véc tơ không phải trị tuyệt đối).

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau   1d đi qua điểm M , có véc tơ chỉ phương u



và đường thẳng   2 d đi qua điểm N , có véc tơ chỉ phương v



được xác định bởi

     1 2

, . ,

,

u v MN d d d

u v

    

   



 ( lưu ý dưới mẫu là độ dài véc tơ, tử thức là giá trị tuyệt đối).

Tất cả các công thức trên đều được áp dụng tính trực tiếp trong bài thi.

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG, GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT

PHẲNG VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Cho đường thẳng  d có véc tơ chỉ phương a



và mặt phẳng  P có véc tơ pháp tuyến n



và

cặp véc tơ chỉ phương 1 2 , a a 

.

+ Đường thẳng  d và mặt phẳng  P không có điểm chung ta nói   / / d P .

Vậy   / / d P xảy ra khi thỏa mãn một trong các điều kiện:

(i). Hệ phương trình tạo bởi đường thẳng  d và mặt phẳng  P vô nghiệm.

(ii). a n   

và tồn tại một điểm   , A d A P   .

(iii). a



là một véc tơ chỉ phương của  P và tồn tại một điểm  A d  nhưng không thuộc

 P .

+ Đường thẳng  d và mặt phẳng  P có hai điểm chung phân biệt ta nói   d P  , xảy ra khi thỏa mãn một trong các điều kiện: (i). Hệ phương trình tạo bởi đường thẳng  d và mặt phẳng  P vô số nghiệm.

(ii). Mặt phẳng  P đi qua hai điểm phân biệt  , A B d  .

(iii). Mặt phẳng  P đi qua điểm  A d  và nhận a



làm một véc tơ chỉ phương.

+ Đường thẳng  d có một điểm chung duy …