Đề khảo sát HSG Toán 6 lần 2 năm 2023 - 2024 trường THCS Xuân Lẹ - Thanh Hóa

UBND HUYỆN THƯỜNG XUÂN

TRƯỜNG THCS XUÂN LẸ

ĐỀ THI KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 6

NĂM HỌC 2023-2024 MÔN THI: TOÁN (Lần 2) (Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian phát đề)

Đề thi có 01 trang gồm 5 câu.

Ngày thi: 29/02/2024

Đề bài: Câu 1: (4.0 điểm). Thực hiện các phép tính sau một cách hợp lí: 1. A = 36.28 + 64.59 - 36.128 + 32.82

2. B = 4 4 4 4 4 4 20 30 42 56 72 90 − − − − − − + + + + +

Câu 2: (4.0 điểm). 1. Tìm x, biết:

a) ( ) ( ) 2 2 2 19x 2.5 :14 13 8 4 + = − − b) 2 1 + x = 1 8 + x

2. Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x,y) sao cho 34x5y chia hết cho 36.

Câu 3: (6.0 điểm). 1. Một số tự nhiên chia cho 7 dư 5, chia cho 13 dư 4. Nếu đem số đó chia cho 91 thì dư bao nhiêu? 2. Cho 31 số nguyên trong đó tổng của 5 số bất kỳ là một số dương. Chứng minh rằng tổng của 31 số đó là số dương. 3. Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi n2 + 2006 là số nguyên tố hay là hợp số.

Câu 4:(4.0 điểm). Cho tam giác ABC có  ABC = 550, trên cạnh AC lấy điểm

D sao cho  ABD = 300.

a) Tính số đo của  DBC. b) Tính độ dài AC, nếu AD = 4cm, CD = 3cm.

c) Từ B dựng tia Bx sao cho  DBx = 900. Tính số đo  ABx . d) Trên cạnh AB lấy điểm E (E không trùng với A và B). Chứng minh rằng 2 đoạn thẳng BD và CE cắt nhau. Câu 5: (2.0 điểm). Chứng minh rằng:

16 3 3 100 3 99 ... 3 4 3 3 3 2 3 1

100 99 4 3 2 < − + + − + −

Hết

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!

PHÒNGGD&ĐT THƯỜNG XUÂN

TRƯỜNG THCS XUÂN LẸ

ĐỀ THI KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 6

NĂM HỌC 2022-2023 MÔN THI: TOÁN (Lần 2) (Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian phát đề)

Đề thi có 01 trang gồm 5 câu.

Ngày thi: 22/02/2023

Câu Nội dung cần đạt Điểm

Câu 1.1 (2,0 điểm)

A = 36.28 + 64.59 - 36.128 + 32.82 ( ) ( ) 36.28- 36.128 + 64.59 + 32.82 =

( ) ( ) 36 28- 128 +32 2.59 + 82 =

( ) ( ) 36. -100 +32.200 = 100 36 64 2800 = − + =

0,5 điểm 0,5 điểm 1,0 điểm

Câu 1.2 (1,0 điểm)

B = 4 4 4 4 4 4 20 30 42 56 72 90 − − − − − − + + + + +

1 1 1 1 1 1 ( 4). 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10   = − + + + + +    

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 4). 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10   = − − + − + − + − + − + −    

1 1 5 2 3 ( 4). ( 4) 4 10 20 5 − −   = − − = − =    

0,5 điểm

0,5 điểm 1,0 điểm

Câu 2.1a (1,0 điểm)

( ) ( ) 2 2 2 19x 2.5 :14 13 8 4 + = − −

( ) 19x 50 :14 9 + = 19x 50 126 + = 19x = 76 x = 4

0,25 điểm 0,25 điểm

Câu 2.1a (1,0 điểm)

2 1 + x = 1 8 + x ⇒ (x + 1)2 = 16 ⇒ x + 1 = 4 hoặc x + 1 = -4

+) x + 1 = 4 => x = 3 +) x + 1 = - 4 => x = -5 Vậy x = 3; x = -5

0,5 điểm

0,25 điểm

Câu 2.2 (2,0 điểm)

Ta có 36 = 9.4. Mà ƯC(4,9) =1 Vậy để 34x5y chia hết cho 36 thì 34x5y chia hết cho 4 và 9

34x5y chia hết cho 9 khi 3 + 4 + x + 5 + y9 ⇒ 12 + x + y9 (1)

34x5y chia hết cho 4 khi  5y 4 ⇒ y = 2 hoặc y = 6

0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm

Với y = 2 thay vào (1) ta được 14 + x9 => x = 4 Với y = 6 thay vào (1) ta được 18 + x9 ⇒ x = 0 hoặc x = 9 Vậy các cặp (x,y) cần tìm là: (4,2); (0,6) và (9,6)

0,5 điểm

Câu 3.1 (2,0 điểm)

Gọi số tự nhiên đó là a. Vì a chia cho 7 dư 5 ⇒ a - 5  7 ⇒ a - 5 + 14  7 ⇒ a + 9  7 Tương tự: a chia cho 13 dư 4 ⇒ a + 9  13 mà (7,13) = 1 nên 9 7.13 a +  ⇒ a+9 = 91k (k ∈ N)⇒ a = 91k - 9 = 91k - 91 + 82 = 91(k-1) +82 Vậy a chia cho 91 dư 82.

0,5 điểm 0,5 điểm

Câu 3.2 (2,0 điểm)

Trong các số đã cho ít nhất có 1 số dương vì nếu trái lại tất cả đều

là số âm thì tổng của 5 số bất kỳ trong chúng sẽ là số âm trái với

giả thiết.

Tách riêng số dương đó còn 30 số chia làm 6 nhóm. Theo đề bài

tổng các số của mỗi nhóm đều là số dương nên tổng của 6 nhóm

đều là số dương và do đó tổng của 31 số đã cho đều là số dương.

1,0 điểm

1,0 điểm

Câu 3.2 (2,0 điểm)

Do n là số nguyên tố lớn hơn 3

nên n = 3k + 1 (k ∈ N*) hoặc n = 3k + 2 (k ∈ N*)

Nếu n = 3k + 1 (k ∈ N*)

thì n2 = (3k + 1)(3k + 1) = 3k(3k + 1) + 3k + 1

suy ra n2 chia 3 dư 1.

Nếu n = 3k + 2 (k ∈ N*) thì n2 = (3k + 2)(3k + 2)

= 3k(3k + 2) + 6k + 4 = 3k(3k + 2) + 6k + 3 + 1

suy ra n2 chia 3 dư 1.

Vậy với n là số nguyên tố lớn hơn 3 thì n2 chia 3 dư 1

⇒ n2 = 3k + 1 (k ∈ N*)

Khi đó n2 + 2006 = 3k + …