Đề khảo sát HSG Toán 7 năm 2017 - 2018 phòng GDĐT thành phố Kon Tum

PHÒNG GD&ĐT KON TUM ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7

MÔN: TOÁN

ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC: 2017 – 2018

(Đề thi gồm 01 trang) Ngày thi: 03/04/2017

Thời gian: 90 phút không tính thời gian ghi đề

Câu 1: (4,5 điểm).

1. Tính giá trị các biểu thức sau:

a) A = 3 4 7 4 7 7 : : 7 11 11 7 11 11                 

b) B =

12 5 6 2

2 6 4 5 2 .3 4 .9 (2 .3) 8 .3 



2. Cho x y 3 5  . Tính giá trị biểu thức: C =

2 2

2 2 5x 3y 10x 3y 



Câu 2: (4,5 điểm)

1. Tìm các số x, y, z, biết:

a) x y y z ; 2 3 5 7   và x + y + z = 92

b) (x – 1)2016 + (2y – 1)2016 + |x + 2y – z|2017 = 0

2. Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x – y = 6

Câu 3: (3,0 điểm)

1. Tìm đa thức A biết: A – (3xy – 4y2) = x2 – 7xy + 8y2

2. Cho hàm số y = f(x) = ax + 2 có đồ thị đi qua điểm A(a – 1; a2 + a).

a) Tìm a

b) Với a vừa tìm được, tìm giá trị của x thỏa mãn: f(2x – 1) = f(1 – 2x)

Câu 4: (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và

ACE. Gọi I là giao điểm BE và CD. Chứng minh rằng:

a) BE = CD

b) BDE là tam giác cân

c)  0 EIC 60  và IA là tia phân giác của  DIE

Câu 5: (2,0 điểm)

1. Tìm số hữu tỉ x, sao cho tổng của số đó với nghịch đảo của nó có giá trị là một số nguyên.

2. Cho các số a, b, c không âm thỏa mãn: a + 3c = 2016; a + 2b = 2017. Tìm giá trị lớn nhất của

biểu thức P = a + b + c.

-------------------- HẾT --------------------

ĐÁP ÁN

Câu 1: 1.

a) A = 3 4 7 4 7 7 : : 7 11 11 7 11 11                 

= 3 4 11 4 7 11 . . 7 11 7 7 11 7                 

A = 11 3 4 4 7 7 7 11 7 11                      

= 11 3 4 4 7 7 7 7 11 11                      

=   11 11 ( 1) 1 .0 0 7 7    

b) B =

12 5 6 2

2 6 4 5 2 .3 4 .9 (2 .3) 8 .3 

 =

12 5 2 6 2 2 12 5 12 4

12 6 3 4 5 12 6 12 5 2 .3 (2 ) .(3 ) 2 .3 2 .3 2 .3 (2 ) .3 2 .3 2 .3      =

12 4

12 5 2 .3 (3 1) 2 .3 (3 1)

 

B =

12 4

12 5 2 .3 .2 1 2 .3 .4 6 

2. Đặt x y 3 5  = k x 3k

y 5k

   

. Khi đó:

C =

2 2

2 2 5x 3y 10x 3y 

 =

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 5(3k) 3(5k) 45k 75k 120k 10(3k) 3(5k) 90k 75k 15k       = 8

Câu 2: 1.

a) Ta có:

x y x y

x y z 2 3 10 15 y z y z 10 15 21 5 7 15 21

                     

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau và x + y + z = 92, ta được:

x y z 10 15 21   = x y z 92 2 10 15 21 46      

x 2 10 x 20 y 2 y 30 15 z 42 z 2 21

                  

b ) Ta có: (x – 1)2016  0  x

(2y – 1)2016  0  y

|x + 2y – z|2017 0  x, y, z

 (x – 1)2016 + (2y – 1)2016 + |x + 2y – z|2017  0  x, y, z

Mà (x – 1)2016 + (2y – 1)2016 + |x + 2y – z|2017 = 0 nên dấu "=" xảy ra 

 

 

2016

2016

2017

x – 1

2y – 1

x

0

2y – z

0

0

  



     

2

2

1

1

2

1

2

1 3 2

1

I

E

D

A C

B



1 1 2. – z 0 2

x 1 x 1

1 1 y y 2 2 z 2

               

     

2. Ta có: xy + 3x – y = 6  x(y + 3) – (y + 3) = 6 – 3

 (x – 1)(y + 3) = 3 = 1.3 = 3.1 = (– 1)(– 3) = (– 3)(– 1)

Ta có bảng sau:

x – 1 1 3 – 1 – 3

y + 3 3 1 – 3 – 1

x 2 4 0 – 2

y 0 – 2 – 6 – 4

Vậy: (x; y) = (2; 0) = (4; – 2) = (0; 6) = (– 2; – 4)

Câu 3:

1. Ta có: A – (3xy – 4y2) = x2 – 7xy + 8y2

A = x2 – 7xy + 8y2 + (3xy – 4y2)

A = x2 – 4xy + 4y2

2.

a) Vì đồ thị hàm số y = f(x) = ax + 2 đi qua điểm A(a – 1; a2 + a) nên:

a2 + a = a(a – 1) + 2  a2 + a = a2 – a + 2  2a = 2  a = 1

b) Với a = 1 thì y = f(x) = x + 2

Ta có: f(2x – 1) = f(1 – 2x)  (2x – 1) + 2 = (1 – 2x) + 2  4x = 2 x = 1

2

Câu 4:

GT  ABC, A = 900, ABD và ACE đều

I = BE CD

KL

a) BE = CD

b) BDE là tam giác cân

c)  0 EIC 60  và IA là tia phân giác của  DIE

a) Ta có:

 

 

  0 0 0 0 1

0 0 0 0 2

DAC A 90 60 90 150 DAC BAE BAE A 90 60 90 150

         

     

Xét DAC và BAE có:

DA = BA (GT)

  DAC BAE  (CM trên)

AC = AE (GT)

 DAC = BAE (c – g – c)  BE = CD (Hai cạnh tương ứng)