Đề giao lưu HSG Toán 7 năm 2016 - 2017 phòng GDĐT Tam Dương - Vĩnh Phúc

PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG

ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 7

NĂM HỌC 2016 - 2017

MÔN: TOÁN 7 Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề

Đề thi gồm 01 trang Chú ý: Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay! Câu1. (2,0 điểm)

a) Tìm x biết: 2016 0 3 3 2 ( 1) 3 2017 x x x     

b) Cho B = 1+ 1 1 1 1 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 4) .... (1 2 3 ... ) 2 3 4 x x            

Tìm số nguyên dương x để B = 115. Câu 2. (2,0 điểm)

a) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn 1 2 3 1 y z x z x y x y z x y z           .

Tính giá trị của biểu thức: A = 2016.x + y2017 + z2017. b) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn: 2x = 3y = 5z và 2 x y  = 5.

Tìm giá trị lớn nhất của 3x – 2z. Câu 3. (2,0 điểm)

a) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức M = 2016 2016 3 2 x x

  có giá trị nhỏ nhất.

b) Cho đa thức f(x) = 2016.x4 – 32(25.k + 2).x2 + k2 – 100 (với k là số thực dương cho trước). Biết đa thức f(x) có đúng ba nghiệm phân biệt a, b, c (với a < b < c). Tính hiệu của a – c.

Câu 4. (2,5 điểm) Cho đoạn thẳng BC cố định, M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Vẽ góc CBx sao cho  0 45 CBx  , trên tia Bx lấy điểm A sao cho độ dài đoạn thẳng BM và BA tỉ lệ với 1 và 2 . Lấy điểm D bất kì thuộc đoạn thẳng BM. Gọi H và I lần lượt là hình chiếu của B và C trên đường thẳng AD. Đường thẳng AM cắt CI tại N. Chứng minh rằng:

a) DN vuông góc với AC. b) BH2 + CI2 có giá trị không đổi khi D di chuyển trên đoạn thẳng BM. c) Tia phân giác của góc HIC luôn đi qua một điểm cố định. Câu 5. (1,5 điểm)

a) Tìm các số nguyên tố p thỏa mãn 2 2 p p  là số nguyên tố.

b) Trong một bảng ô vuông gồm có 5x5 ô vuông, người ta viết vào mỗi ô vuông chỉ một trong 3 số 1; 0 hoặc -1. Chứng minh rằng trong các tổng của 5 số theo mỗi cột, mỗi hàng, mỗi đường chéo phải có ít nhất hai tổng số bằng nhau.

--------------Hết---------------- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ....................................................SBD:..............Phòng thi.................

ĐỀ CHÍNH THỨC

PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG

HƯỚNG DẪN CHẤM THI GIAO LƯU HSG LỚP 7 CẤP HUYỆN

NĂM HỌC: 2016 -2017

MÔN: TOÁN 7 Lưu ý: Sau đây chỉ là gợi ý một cách giải và dự kiến cho điểm tương ứng, nếu thí sinh giải bằng cách khác và đúng, các giám khảo dựa trên gợi ý cho điểm của hướng dẫn chấm để thống nhất cách cho điểm. Câu 4 học sinh không vẽ hình (hoặc vẽ hình sai) thì không cho điểm. Tổ chấm có thể thống nhất chia điểm đến mức nhỏ hơn trong hướng dẫn và đảm bảo nguyên tắc: điểm của mỗi câu làm tròn đến 0,25; điểm của toàn bài là tổng điểm của cả 5 câu và không làm tròn

Câu Nội dung cần đạt Điểm

1

(2đ)

a) 2016 0 3 3 2 ( 1) 3 2017 x x x     

3 3 2 1 3 1 x x x      (*)

Điều kiện để x thỏa mãn bài toán là 1 3 1 0 3 x x    

Khi đó 1 2 1 0 2 x x     nên (*) trở thành

3 3 2 1 3 1 3 3 x x x x x       (điều kiện 0 x  )

Nếu 1 x  ta có 3x – 3 = x nên x = 3

2 (thỏa mãn)

Nếu 0 1 x   ta có 3 - 3x = x nên x = 3

4 (thỏa mãn)

Vậy 3 3 ; 2 4 x      

0,25

0,25

0,25

0,25

b) B = 1+ 1 2.3 1 3.4 1 4.5 1 ( 1) .... 2 2 3 2 4 2 2 x x x

                            =

= 1+   3 4 1 1 ... 2 3 4 ... ( 1) 2 2 2 2 x x          

= 1 ( 3) 2 2 x x       

Từ đó B = 115 khi 1 ( 3) 115 ( 3) 460 2 2 x x x x          

Mà x là số nguyên dương nên x và x + 3 là ước dương của 460 nên x = 20. Vậy x = 20

0,25

0,25

0,25

0,25

a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: