Đề khảo sát HSG Toán 7 năm 2015 - 2016 phòng GDĐT Ý Yên - Nam Định

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN Ý YÊN

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI THCS

NĂM HỌC 2015 - 2016

MÔN : TOÁN – LỚP 7 Thời gian làm bài: 150 phút

Đề gồm 01 trang

Bài 1. (6 điểm)

1) Tính giá trị của biểu thức

   

3 2 3 7 2 1 A 1 . . . 7 . 8 7 14                    

2 2 1 0,4 1 0,875 0,7 9 11 6 B 2016 : . 7 7 1 1 1,4 0,25 9 11 3 5

                   

2) Cho đa thức Q(x)

3 2 = ax bx cx + d   với a, b, c ,d . Biết Q(x) chia hết cho 3 với mọi x . Chứng tỏ các hệ số a, b, c, d đều chia hết cho 3. Bài 2. ( 4 điểm)

1) Biết bz cy cx az ay bx a b c      (với a, b, c 0  ).

Chứng minh rằng: x y z a b c   .

2) Số M được chia thành ba phần tỉ lệ nghịch với 3; 5; 6. Biết rằng tổng các lập phương của ba phần đó là 10728. Hãy tìm số M.

Bài 3. ( 6 điểm) Cho tam giác ABC đều. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho BD 1AB 3  . Tại

D kẻ đường vuông góc với AB cắt cạnh BC tại E. Tại E kẻ đường vuông góc với BC cắt AC tại F.

1) Chứng minh DF  AC. Biết trong tam giác vuông cạnh đối diện với góc

0 30 thì bằng nửa cạnh huyền. 2) Chứng minh tam giác DEF đều. 3) Gọi G là trọng tâm của tam giác DEF. Chứng minh GA = GB = GC. Bài 4. (2 điểm) Cho tam giác ABC, trung tuyến AM và BE cắt nhau tại G. Chứng minh

rằng nếu  0 AGB 90  thì AC BC 3AB   . Bài 5. ( 2 điểm)

Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức C= 22 3x 4 x   có giá trị lớn nhất.

Họ và tên thí sinh: …………………

Số báo danh:…………………………

Họ, tên chữ ký GT 1: ………………………….

Họ, tên chữ ký GT 2: ………………………….

ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 7 I. Hướng dẫn chung: 1) Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với các ý cơ bản học sinh phải trình bày, nếu

học sinh giải theo cách khác mà đúng và đủ các bước thì vẫn cho điểm tối đa. 2) Điểm toàn bài là tổng điểm của các ý, các câu và không làm tròn. II. Đáp án và thang điểm:

Bài ý Nội dung đáp án Điểm

1 (6,0đ)

1) (4đ)

A=     3 2

3 2 7 2 1 1 . . . 8 7 2

   0,5

=     3 2

9 2 1 . 7 . 2

2 .7 .2

   0,5

   

8 1 . 7 . 1

2

    0,5

7 256

  0,5

Tính: *)

1 1 1 2 2 2. 0,4 5 9 11 9 11 7 7 1 1 1 1,4 7. 9 11 5 9 11

                    

0,25

2 7  ( vì 1 1 1 0 5 9 11    ) 0,25

*)

1 1 1 1 7. 1 0,875 0,7 6 8 10 6

1 1 1 1 1 0,25 2. 3 5 6 8 10

                      

0,25

7 2   (vì 1 1 1 0 6 8 10    ) 0,25

2 7 B 2016: . 2016 7 2         

1,0

2) (2,0đ)

Cho đa thức Q(x)

3 2 = ax bx cx + d   Vì Q(x)  3 với mọi x  , nên Với x = 0, ta có  Q 0 d  3 0,5

Với x = 1, ta có Q(1) = 3 a b c d     mà d3 => a + b +c 3 (1) 0,25

Với x = -1, ta có   Q 1 a + b c + d 3    

mà d3 => a + b – c 3 (2)

0,25

   Q 1 Q 1 2b    3 mà (2 ; 3) =1 nên b3 0,25      Q 1 Q 1 2 3 a c      mà (2 ; 3) =1 nên a+c 3 (3) 0,25

Với x = 2 , ta có  Q 2 = 8a+ 4b+ 2c +d 3 

hay 7a + (a + c) + 2b + d 3

0,25

Mà d3, a + c 3, b3 nên 7a3 mà (7; 3) = 1 => a3 Từ (3) suy ra c3=> đpcm 0,25

2 (4,0đ)

1 (2,0đ)

Với a, b, c 0  , ta có bz cy cx az ay bx a b c      = 2 2 2 bza cya bcx baz acy bcx a b c      0,25

= 2 2 2 2 2 2 bza cya + bcx baz acy bcx 0 0 a b c a b c           0,25

Suy ra bz cy a  =0 , do đó y z bz cy b c    (1)

0,5

cx az b  = 0, do đó x z cx az a c    (2) 0,5

Từ (1) và (2) suy ra x y c a b z   0,5

2 (2,0đ)

Gọi ba phần được chia của số M là x, y, z. , ta được x + y + z = M 0,25

Theo đề bài ta có 1 1 1 x : y : z : : 3 5 6  và 3 3 3 10728 x y z    (1) 0,25

Hay x y z 10 6 5 k    và 3 3 3 10728 x y z    0,25

Suy ra 3 3 3 3 3 3 3 3 10 . ; 6 . ; 5 . x k y k z k    0,5

Thay vào (1), được 3 1341 8 2 k k    0,25 suy ra 20; y = 12; z =10 Vậy M = 42. 0,5

3. (6,0đ)

1

1

1

M

K

I

H

G

A

B C

D

E

F

F

1) (3,0đ)

ABC đều nên AB =AC = BC = a và A = B = C = 600 0,25

BD 1 a 3  (gt) 2 AD a 3   0,25

Xét BDE vuông tại D có B = 600  DEB = 300 0,25