Đề khảo sát HSG Toán 7 lần 2 năm 2015 - 2016 trường THCS Bồ Lý - Vĩnh Phúc

Câu 1. (3 điểm) Cho các đa thức:

A(x) = 2x5 – 4x3 + x2 – 2x + 2 B(x) = x5 – 2x4 + x2 – 5x + 3

C(x) = x4 + 4x3 + 3x2 – 8x + 3 416

a. Tính M(x) = A(x) – 2B(x) + C(x) b. Tính giá trị của M(x) khi x = 0,25  c. Có giá trị nào của x để M(x) = 0 không? Câu 2. (6 điểm)

a. Tìm các số x; y; z biết rằng: 1 2 3 1 y z x z y x x y z x y z           

b. Tìm x: 4 3 2 1 2010 2011 2012 2013 x x x x       

c. Tìm x để biểu thức sau nhận giá trị dương: x2 + 2014x Câu 3. (4 điểm)

a. Cho

3 1 

 

x

x A Tìm số nguyên x để A là số nguyên

b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = 3 15

2

2

  x x

Câu 4. (5 điểm)

Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng:

a. AC = EB và AC // BE b. Gọi I là một điểm trên AC; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK. Chứng minh ba điểm I, M, K thẳng hàng c. Từ E kẻ EH BC    H BC  . Biết  HBE = 50o;  MEB =25o.

Tính  HEM và  BME Câu 5. (2 điểm)

Từ điểm I tùy ý trong tam giác ABC, kẻ IM, IN, IP lần lượt vuông góc với BC, CA, AB. Chứng minh rằng: AN2 + BP2 + CM2 = AP2 + BM2 + CN2

Hết

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ..............................................Số báo danh:.......................

TRƯỜNG THCS BỒ LÝ ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LẦN 2

NĂM HỌC 2015 – 2016

Môn thi: TOÁN 7

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

TRƯỜNG THCS BỒ LÝ HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu Nội dung chính Điểm

Câu 1

a. M(x) = A(x) – 2B(x) + C(x)

= 2x5 – 4x3 + x2 – 2x + 2 – 2(x5 – 2x4 + x2 – 5x + 3) + x4 + 4x3 + 3x2

– 8x + 3 416

= (2x5 -2x5) + (x4 + 4x4) + (– 4x3 +4x3) + (x2 – 2x2 +3x2) + (-2x

+10x-8x) + 2- 6 + 3 416

= 5x4 + 2x2 + 3

16

0,5

0,5

b. Tính giá trị của M(x) khi x = 0,25 

Thay x = 0,25  vào biểu thức M(x) ta được:

5.( 0,25  )4 + 2( 0,25  )2 + 3

16

= 0,3125 + 0,5 + 3

16

= 1

0,5

0,5

c. Ta có: M(x) = 5x4 + 2x2 + 3

16

4 2 1 1 3 1 5( 2 5 25) 16 5 x x     

2 2 1 1 5( ) 5 80 x   

M(x) = 0  2 2 1 1 5( ) 5 80 x   = 0

 2 3 20 x  ( Vô lí )

Vậy không có giá trị nào của x để M(x) = 0

0,5

0,5

Câu 2

a. Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :

1 2 3 1 y z x z y x x y z x y z           

= 1 2 3 2( ) 2 y z x z y x x y z x y z x y z               

( Vì x+y+z 0). Do đó x+y+z = 0,5. Thay kết quả này vào đề bài ta có:

0,5 1 0,5 2 0,5 3 2 x y z x y z          tức là 1,5 2,5 2,5 2 x y z x y z       

Vậy 1 5 5 ; ; 2 6 6 x y z    

0,5

0,5

1

4 3 2 1 . 2010 2011 2012 2013 4 3 2 1 1 1 1 1 2010 2011 2012 2013 1 1 1 1 ( 2014)( ) 0 2010 2011 2012 2013 2014 0

2014

x x x x b

x x x x

x

x

x

      

        

     

  

 

Vậy giá trị x cần tìm là : x = -2014

0,5

0,5

0,5 0,5

c. Ta có : x2+2014x = x(x+2014)

x - -2014 - 0 + x+2014 - 0 + + x(x+2014) + - + Vậy x2+2014x > 0 khi x < -2014 hoặc x > 0

0,5

0,5

1

Câu 3

a. 1 3 4 4 1 3 3 3 x x A

x x x        

Để A là số nguyên thì 3 x  là ước của 4, tức là   3 1; 2; 4 x    Vậy giá trịx cần tìm là : 1 ; 4 ; 16 ;25 ;49

0,5

0,5

1

b. B = 3 15

2

2

  x x =  

3

12 3

2

2



  x x = 1 + 3 12

2  x

Ta có: x 2  0. Dấu ‘ =’ sảy ra khi và chỉ khi x = 0

 x 2 + 3  3 ( 2 vế dương )

 3 12

2  x 

3 12 

3 12

2  x  4  1+

3 12

2  x  1+ 4

 B  5

Dấu ‘ =’ sảy ra khi và chỉ khi x = 0

Vậy Max B = 5  x = 0.

0,5

0,5

0,5

0,5

Câu 4 .Vẽ hình

0,5

K

H

E

M B

A

C

I