Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 8 năm 2023 - 2024 sở GDĐT Nam Định

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

NAM ĐỊNH

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2023 - 2024 Môn: Toán – Lớp: 8 THCS.

Thời gian làm bài: 120 phút

Đề thi gồm: 02 trang. Bài 1. (4,0 điểm)

1) Cho các số thực , , a b c khác 0 thoả mãn 1 2024 a b c    và 1 1 1 2024. a b c    Chứng minh

rằng trong các số , , a b c luôn tồn tại một số bằng 1 2024 hoặc bằng 1 . 2024



2) Cho , , a b c là các số thực đôi một khác nhau và thoả mãn 2. ab bc ca    Tính giá trị của

biểu thức      

   

 

2 2 2

2 2 2 2 1 2 1 2 1

1013 . a bc b ac c ab P ab bc ca a b b c c a

                    

Bài 2. (3,5 điểm)

1) Tìm số thực x thoả mãn đẳng thức

2

2 16 25 31 6 4. 1 2 1 x x x x x       

2) Cho đa thức 3 2 ( ) f x x ax bx c     (với , , a b c ℝ). Biết đa thức ( ) f x chia cho đa thức

1 x  dư 2  và chia cho đa thức 2 x  dư 7 . Tính giá trị của biểu thức

 

2023 2024 2022 1. Q a b c    

Bài 3. (3,5 điểm)

1) Một doanh nghiệp tư nhân ở thành phố A chuyên kinh doanh các loại máy vi tính. Hiện nay,

doanh nghiệp đang tập trung chiến lược vào kinh doanh máy tính với chi phí mua vào là 23 triệu

đồng và bán ra với giá 27 triệu đồng mỗi chiếc. Với giá bán này thì dự kiến số lượng máy tính mà

khách hàng sẽ mua trong một năm là 600 chiếc. Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ

dòng máy tính đang bán chạy này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán và ước lượng rằng nếu cứ

giảm 100 nghìn đồng mỗi chiếc thì số lượng máy tính bán ra trong một năm sẽ tăng thêm 20

chiếc. Vậy doanh nghiệp phải bán với giá mới là bao nhiêu để sau khi giảm giá lợi nhuận thu được

sẽ cao nhất?

2) Cho 2 2 2 2 2 2024 2024 2024 2024 2024 ... 2023 1 2023 2 2023 3 2023 2022 2023 2023 A            . Chứng minh

rằng A không phải là số tự nhiên.

Bài 4. (7,0 điểm)

1) Cho tam giác ABC nhọn, có các đường cao , , AD BE CF đồng quy tại . H Gọi I là trung

điểm của AH ; M là trung điểm của BC . Gọi K là giao điểm của AD và . EF

a) Chứng minh rằng IM vuông góc với EF và  . EFC EBC 

b) Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt CF tại S . Chứng minh 2 . IK ID IF  và

SM vuông góc với . BI

2) Ở một trường THCS X, trên một khu đất trống

hình chữ nhật, nhà trường dự định lấy 2 1666m đất

làm một sân bóng đá hình chữ nhật cho học sinh

với kích thước 30m 45m.  Theo thiết kế, người ta

làm một hành lang có bề rộng bằng nhau bao quanh

sân bóng đá (minh họa như hình vẽ). Hãy tính bề

rộng của lối đi hành lang.

Bài 5. (2,0 điểm)

1) Cho các số thực , , x y z thỏa mãn điều kiện 0 , , 2 x y z   và 3. x y z    Hãy tìm giá trị lớn

nhất của biểu thức     4 4 4 12 1 1 1 . M x y z x y z       

2) Cho đa giác đều gồm 2023 cạnh. Người ta sơn các đỉnh của đa giác bằng hai màu xanh và đỏ.

Chứng minh rằng tồn tại ba đỉnh được sơn cùng một màu tạo thành một tam giác cân.

------------Hết------------

Họ và tên thí sinh:............................................................. Số báo danh:.................................................

Họ, tên và chữ ký của GT 1:..............................................Họ, tên và chữ ký của GT 2:........................