Đề giao lưu HSG Toán 8 năm 2023 - 2024 phòng GDĐT thành phố Thanh Hóa

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ THANH HÓA

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI THCS (LỚP 8)

CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2023-2024

MÔN GIAO LƯU: TOÁN Thời gian: 150 phút, không kể thời gian phát đề

(Đề giao lưu gồm 5 câu, 01 trang)

Câu I. (4,0 điểm)

1) Rút gọn biểu thức:

3 2

3 2 3 2 1 1 2 2 1 : 1 1 1 x x x Q x x x x x x x + −   = + − −   + − − + − +  

2) Cho 3 số , , 0 x y z  thỏa mãn điều kiện ( )

2 2 2 2 x y z x y z + + = + + . Tính giá trị biểu thức

2 2 2

2 2 2 2 2 2 x y z M x yz y zx z xy = + + + + +

Câu II. (4,0 điểm)

1) Giải phương trình:

2 2 2 2 4 6 16 72 8 20 12 42 2 8 4 6 x x x x x x x x x x x x + + + + + + + + + = + + + + +

2) Giả sử đa thức ( ) f x chia cho 1 x + dư 4; chia cho 2 1 x + dư 2 3 x + . Hãy tìm dư trong phép chia ( ) f x cho 2 ( 1)( 1) x x + + Câu III. (4,0 điểm)

1) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên ( ) ;x y thỏa mãn phương trình: 3 3 3 1 x y xy + = +

2) Cho , , a b c là các số nguyên khác 0, sao cho

2 2

2 2 . a b a b c c + = + Chứng minh rằng

2 2 2 a b c + + không phải là số nguyên tố. Câu VI. (6,0 điểm)

1) Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Vẽ tia , Ax By cùng phía đối với AB và vuông góc . AB Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt tia Bytại . D a) Chứng minh OAC  đồng dạng với DBO  và 2 4 . AB AC BD = b) Kẻ OM vuông góc CD tại . M Tia BM cắt tia Ax tại .I Chứng minh AC CM CI = = 2) Cho ABC  ( ) AB AC  trọng tâm G . Qua G vẽ đường thẳng d cắt các cạnh , AB AC

lần lượt ở D và E . Chứng minh rằng 3 AB AC AD AE + =

Câu V. (2,0 điểm)

1) Một hộp đựng 20 quả bóng trong đó có 4 quả màu xanh, 5 quả màu trắng và 6 quả màu vàng (các quả còn lại khác màu nhau). Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 2 quả, tính xác suất để lấy được 2 quả cùng màu?

2) Cho ba số thực dương , , x y z thỏa mãn 2 2 2 1 1 1 1 x y z + + =

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 y z z x x y P

x y z y z x z x y = + + + + +

.....................Hết.................. (Giám thị coi thi không giải thích gì thêm) Học sinh: …………………………………………………Số báo danh: ………………….......... Giám thị số 1: …………………………… Giám thị số 2: …………………............................

a c 

ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu Ý Nội dung Điểm

Câu I (4 điểm)

1) Rút gọn biểu thức:

3 2

3 2 3 2 1 1 2 2 1 : 1 1 1 x x x Q x x x x x x x + −   = + − −   + − − + − +  

2) Cho 3 số , , 0 x y z  thỏa mãn điều kiện ( )

2 2 2 2 x y z x y z + + = + + Tính giá trị

biểu thức

2 2 2

2 2 2 2 2 2 x y z M x yz y zx z xy = + + + + +

1 ĐKXĐ: 0; x  1 x −; 2 x  0,25

( ) ( )( )

3 2

3 2 3 2

2

2 2 2

2 2

2

1 1 2 2 1 : 1 1 1

1 1 2 ( 2) 1 : ( 1)( 1 1 1 ( 1)

1 1 2 1 1 1 . ( 2) 1 1

x x x Q x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x

+ −   = + − −   + − − + − +     + − = + + −   + − + −+ + + − +  

+ + + − − + − + = + − + − +

0,75

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2 2

2

2

2

2 4 1 1 . 2 1 1

2 ( 2) 1 1 . 2 1 1

2 1 1 1 1

x x x x x x x x x

x x x

− + − + = + − + − +

− − − + = + − + − +

− − = + = + +

0,75

Vậy Q = 1 1 x x

− + với 0; x  1 x −; 2 x  0,25

2

( )

2 2 2 2 x y z x y z + + = + + 0 xy yz zx  + + =

( )( ) 2 2 2 x yz x yz xy zx x y x z  + = + − − = − −

0,75

Tương tự: ( )( ) 2 2 y zx y z y x + = − − ; ( )( ) 2 2 z xy z x z y + = − − 0,25

Thay vào ta được: ( )( ) ( )( ) ( )( )

2 2 2 x y z M x y x z y z y x z x z y = + + − − − − − − 1,0

( ) ( ) ( )( )( )

2x x y z yz y z M x y x z y z

  − + + −   = − − −

( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( )

2 2 2 x y z y x z z x y M x y x z y z x y x z y z x y x z y z

− − − = − + − − − − − − − − −

( )( )( ) ( )( )( )

1 x y x z y z M x y x z y z − − − = = − − −