Đề khảo sát HSG Toán 8 năm 2023 - 2024 trường THCS Song Mai - Bắc Giang

PHÒNG GD&ĐT TP BẮC GIANG

TRƯỜNG THCS SONG MAI

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2023-2024

Môn: Toán - Lớp: 8 Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1. (2,0 điểm)

a) Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 – 19x + 30 b) Cho x = by + cz ; y = ax + cz ; z = ax + by và x + y + z ≠ 0; xyz ≠ 0.

Chứng minh: 1 1 1 1 1 1 a b c + + + + + = 2

Câu 2. (1,5 điểm)

a) Giải phương trình: 2(6x +7)2 (3x+ 4)(x + 1) – 12= 0 b) Tìm x, y nguyên thỏa mãn: x2 + 2y2 + 3xy – x – y + 3 = 0. Câu 3. (3,0 điểm)

a) Tìm ,a bsao cho 3 2 ( ) 10 4 f x ax bx x = + + −chia hết cho đa thức 2 ( ) 2 g x x x = + −

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: = + + − − + 2 2 13 4 2 16 2019 A x y xy y x

c) Chứng minh rằng: 3 2 3 3 n n n − − + chia hết cho 48 với mọi số nguyên lẻ n. Câu 4. (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại ( ) A AB AC < , đường cao AH . Gọi D là điểm

đối xứng của A qua H . Đường thẳng qua D song song với AB cắt BC và AC lần lượt ở M và N .

a) Chứng minh tứ giác ABDM là hình thoi. b) Chứng minh AM vuông góc với CD c) Gọi I là trung điểm của MC , chứng minh rằng IN vuông góc HN Câu 5. (0,5,0 điểm)

Cho a, b là các số thực dương khác nhau. Chứng minh + > + 1 1 4 a b a b

Từ đó chứng minh >1 A với = + + + + + 1 1 1 1 1 ... 2019 2020 2021 6054 6055 A

--------------------------- Hết ---------------------------

PHÒNG GD&ĐT TP BẮC GIANG

TRƯỜNG THCS SONG MAI

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2023-2024

Môn: Toán - Lớp: 8 Dưới đây chỉ là sơ lược các bước giải và thang điểm. Bài giải của học sinh cần chặt chẽ, hợp logic toán học. Nếu học sinh làm bài theo cách khác hướng dẫn chấm mà đúng thì chấm và cho điểm tối đa của bài đó. Đối với bài hình học nếu học sinh vẽ sai hình hoặc không vẽ hình thì không được tính điểm. Câu Hướng dẫn giải Điểm

1

a) x3 – 19x + 30 = x3- 4x -15x - 30 = x(x2 - 4) - (15x - 30) = x(x - 2)(x + 2) - 15(x - 2) = (x - 2)(x2 – 2x - 15) = (x - 2)(x2 + 3x – 5x – 15x) = (x - 2)(x + 3)(x - 5)

0,25

0,25

0,25 0,25 b) Ta có x = by + cz (1); y = ax + cz (2); z = ax + by (3) Cộng vế với vế của (1) và (2) ta có: x + y = ax + by + 2cx = z + 2cz

Suy ra: 2cz = x + y – z ⇒ c = 2 x y z z + − ⇒1 + c = 2 x y z z + +

⇒ 1 1 c + = 2z x y z + +

Tương tự: 1 + a = 2 x y z x + + ⇒ 1 1 a + = 2x x y z + +

1 + b = 2 x y z y + + ⇒ 1 1 b + = 2y x y z + +

Vậy 1 1 a + + 1 1 b + + 1 1 c + = 2x x y z + + + 2y x y z + + + 2z x y z + + = ) ( 2 x y z

x y z

+ +

+ + = 2

0,25

0,25

0,25

0,25

2

a) Ta có: 2(6x +7)2 (3x+ 4)(x + 1) – 12 = 0 ( ) ( )( )

( ) ( )( )

2

2 2 6x 7 3x 4 x 1 12

6x 7 6x 8 6x 6 72

⇔ + + + =

⇔ + + + =

Đặt 6x + 7 = t, đẳng thức trên trở thành t2(t + 1)(t- 1) = 72

⇔t2(t2 - 1) = 72 ⇔t4 - t2 - 72 = 0 ⇔(t2 +8)(t2- 9) = 0 ⇔t2 = 9 (Vì t2 + 8 dương) ⇔t = 3 hoặc t = -3

Nếu t = 3 suy ra x = - 3 2

Nếu t = -3, suy ra x= -

3 5

Vậy x= - 3 2 hoặc x= -

3 5

0.25

0.25

0.25

b) Ta có: x2 + 2y2 + 3xy - x - y + 3 = 0.

⇔....... ⇔ (x + y)(x + 2y - 1) = - 3 Vì x,y nguyên nên x + y và x + 2y - 1 là các ước của - 3. Ta có bảng sau:

0.25

0.25

Câu Hướng dẫn giải Điểm x + y 1 -3 -1 3 x + 2y -1 -3 1 3 -1 x 4 -8 -6 6 y -3 5 5 -3 Vậy các cặp số nguyên (x; y) cần tìm là (4; 3), (-8;5), (-6; 5), (4; -3).

0.25

3

a) 3 2 ( ) 10 4 f x ax bx x = + + −; 2 ( ) 2 g x x x = + − Ta có ( ) ( 1)( 2) g x x x = − + Do ( ) f x chia hết cho đa thức ( ) g x nên ( ) ( ). ( ) f x q x g x = với ( ) q x là đa thức ( ) ( 1)( 2). ( ) f x x x q x = − + Với 1 x = ta được (1) 0 f = hay 6 0 a b + + = Với 2 x = − ta được ( 2) 0 f − = hay 8 4 24 0 a b − + − = 2 6 0 a b ⇔− + − =

Khi đó ta có 6

2 6

a b

a b

+ = −  − + = 

4

2

a

b

= −  ⇔= − 

Vậy 4, 2 a b = − = −.

0, 5

0,25

0,25

b)

= + + − − +

= + − + − + ≥

2 2

2 2 13 4 2 16 2019

(2 1) (3 2) 2014 2014

A x y xy y x

x y x

Min = 2014 A khi − = = 2 1 , 3 3 x y

0, 5

0,5

c) Ta có: ( ) ( ) 3 2 3 2 3 3 3 3 n n n n n n − − + = − − − ( ) ( ) 2 2 1 3 1 n n n = − − − ( )( ) ( )( ) 1 1 3 1 1 n n n n n = − + − − +

( )( )( ) 1 1 3 n n n = − + − Vì n lẻ nên.??= 2??+ 1 (??∈??) Do đó ( )( )( ) ( )( )( ) 1 1 3 …