Đề giao lưu HSG Toán 8 năm 2023 - 2024 phòng GDĐT Bá Thước - Thanh Hoá

UBND HUYỆN BÁ THƯỚC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2023-2024 MÔN: Toán lớp 8 THỜI GIAN LÀM BÀI: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm có 01 trang

Câu I: (4 điểm)

1) Cho biểu thức:

3 2

3 2 3 2 x 1 1 2 x 2x A : x 1 x x 1 x 1 x x x + −   = − −   + − − + − +   .

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.

2) Cho các số a, b, c khác 0 và đôi một khác nhau thoả mãn:

a2(b+c) = b2(c+a) = 2023. Tính M = c2(a+b) Câu II: ( 4 điểm) 1) Tìm x biết: ( ) ( )( ) x-1 x x 1 x 2 24 + + = 2) Tìm ,a b đôi một khác nhau thoả mãn đồng thời các điều kiện sau:

3 2 3 5 2023 0 a a a − + − = ; 3 2 3 5 2017 0 b b b − + + = ; và a - b = 4 Câu III: ( 4 điểm) 1) Tìm x, y nguyên thoả mãn: 4 2 2 5 4 85 0 x y x y + − − = 2) Cho ba số nguyên x, y, z thỏa mãn 2 2 2 2 x y z + = . Chứng minh rằng 2 2 x y − chia hết cho 48. Câu IV: ( 6 điểm) Cho ∆ABC vuông tại A, có  0 75 ABC = , trên cạnh AC lấy 2 điểm E và P sao cho    ABE EBP PBC = = , Gọi I là chân đường vuông góc hạ từ C xuống đường thẳng BP, đường thẳng CI cắt BE ở F 1, Chứng minh: ∆ECF cân 2, Trên tia đối tia EB lấy điểm K sao cho EK=BC, tính số đo các góc của ∆BCK 3, Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên BK, D là trung điểm của đoạn CH, L là hình chiếu vuông góc của H trên BD. Chứng minh KL vuông góc với LC Câu V: ( 2 điểm) Cho x, y, z là 3 số thực tùy ý thỏa mãn x + y + z = 0 và 1 1 x −≤ ≤, 1 1 y −≤ ≤, 1 1 z −≤ ≤. Tìm giá trị lớn nhất của A = 24 12 2024 x y z + +

………………………………. Hết……………………………..

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8

Câu Nội dung Điểm

Câu

I 4.0đ

1

1) Cho biểu thức:

3 2

3 2 3 2 x 1 1 2 x 2x A : x 1 x x 1 x 1 x x x + −   = − −   + − − + − +   .

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.

a)

3 2

3 2 3 2 x 1 1 2 x 2x A : x 1 x x 1 x 1 x x x + −   = − −   + − − + − +  

ĐK x 0;x 1;x 2 ≠ ≠− ≠

0,25

( )( )

3 2

2 3 2 2 x 1 1 2 x 2x A : x x 1 x 1 x x x x 1 x x 1

  + −   = + − − + + − + + − +    

( )( )

2 2

2 2 x 1 x 1 2(x x 1) x (x 2) A : x(x x 1) x 1 x x 1

  + + + − − + −   = − + + − +    

0,25

( )( )

2

2 2 x 1 x 1 2x 2x 2) x(x 2) A : x x 1 x 1 x x 1

  + + + − + − −   = − + + − +    

( )( )

2 2

2 2x 4x x x 1 A x(x 2) x 1 x x 1 − + − + = ⋅ − + − +

0,25

( )( )

2

2 2x(x 2) x x 1 2 A x(x 2) x 1 x 1 x x 1 − − − + − = ⋅ = − + + − +

Vậy 2 A x 1 − = + với x 0;x 1;x 2 ≠ ≠− ≠

0,25

b) Ta có 2 A x 1 − = + với x 0;x 1;x 2 ≠ ≠− ≠

Vì x nguyên x 0;x 1;x 2 ≠ ≠− ≠ nên x+1 nguyên và x+1khác 0. Để A có giá trị nguyên khi x 1 + là ước của 2. Mà ước của 2 là -1;

1; -2; 2.

0,25

x 1 1 x 0 + = ⇔ = (không thoả mãn)

x 1 1 x 2 + = −⇔ = −(thoả mãn)

0,25

x 1 2 x 1 + = ⇔ = (thoả mãn)

x 1 2 x 3 + = −⇔ = −( thoả mãn)

0,25

Vậy A nguyên khi { } x 3; 2;1 ∈− − 0,25

2

2) Cho các số a, b, c khác 0 và đôi một khác nhau thoả mãn:

a2(b+c) = b2(c+a) = 2023. Tính M = c2(a+b)

Ta có: a2(b+c) = b2(c+a)

2 2 2 2 0 ( ) ( )( ) 0 ( )( ) 0 0

a b ab ca cb ab a b c a b a b a b ab bc ac ab bc ca

⇔ − + − = ⇔ − + − + = ⇔ − + + = ⇒ + + =

(Vì a khác b)

1,0

Lại có:

2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 0 0

c a b a b c ac a c bc a b ac c a b c a c a c a ac bc ab Doab bc ca

+ − + = − + − = − + − + = − + + = + + =

0,75

Vậy với a, b, c thoả mãn yêu cầu đề bài thì M =2023 0,25

Câu II 4.0đ

1

1) Tìm x biết: ( ) ( )( ) x-1 x x 1 x 2 24 + + = Ta có: ( ) ( )( ) x-1 x x 1 x 2 24 + + =

2 1 15 ( 2)( 3) ( ) 0 2 4

2

3

x x x

x

x

  ⇔ − + + + =     =  ⇔= − 

Vậy { } 3;2 x∈−

1.5 0.5

2

2) Tìm ,a b đôi một khác nhau thoả mãn đồng thời các điều kiện sau: 3 2 3 5 2023 0 a a a − + − = ; 3 2 3 5 2017 0 b b b − + + = ; và a - b = 4 Từ các điều kiện đã cho ta có

( ) ( ) 3 1 2 1 2020 0 a a − + − − = (1), ( ) ( ) 3 1 2 1 2020 0 b b − + − + = (2) Cộng tương ứng vế với vế của (1) và (2) ta có:

( ) ( ) 3 3 1 1 2( 2) 0 a b a b − + − + + − =

( )( ) ( ) 2 2 ( 2) ( 1) 1 1 1 2( 2) 0 a b a a b b a b   ⇔ + − − − − − + − + + − = …