Đề HSG Toán 8 vòng 2 năm 2023 - 2024 trường THCS Trần Mai Ninh - Thanh Hóa

1

PGD&ĐT TP THANH HOÁ TRƯỜNG THCS TRẦN MAI NINH

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề thi có 01 trang

ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN ĐỘI TUYỂN TOÁN 8 VÒNG II NĂM HỌC 2023 – 2024 Ngày thi 09 tháng 12 năm 2023 Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề Bài 1: (4,0 điểm).

a) Phân tích đa thức: 8x3 + y3 + z3 – 6xyz thành nhân tử.

b) Cho a + b = x + y và a2 + b2 = x2 + y2.

Chứng minh: an + bn = xn + yn (với mọi số tự nhiên n)

Bài 2: (4,0 điểm).

a) Với a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu 2 2 4a + 3ab 11b − chia

hết cho 5 thì − 4 4 a b chia hết cho 5.

b) Tìm phần dư của phép chia đa thức ( ) P x cho ( )( ) 1 2 . − + x x Biết rằng đa

thức ( ) P x chia cho ( ) 1 − x dư 7 và chia cho ( ) 2 + x dư 1.

Bài 3: (4,0 điểm).

a) Tìm x biết: ( ) 2 3 ( 1) 3 7 1 x x x x − + − = −

b) Tìm các số nguyên ,x y thỏa mãn 4 2 2 20 0 x x y y + − − + =

Bài 4: (6,0 điểm).

1. Cho hình vuông ABCD. Vẽ tam giác AEB đều nằm trong hình vuông. Đường

thẳng AE cắt BD ở F, DE cắt FC ở K. Chứng minh rằng:

a) Tam giác DFE cân.

b) K là trung điểm của CF.

2. Cho tam giác IHK cân ở I đường cao IM. Trên tia đối của HM vẽ N sao cho H

là trung điểm của MN. Vẽ MP vuông góc với IH. Gọi Q là trung điểm của IP. Chứng

minh rằng: NP vuông góc với QM.

Bài 5: (2,0 điểm).

Cho các số thực a,b,c dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 3.

Chứng minh:

2 2 2

2 2 2 2 2 2 a b c a b c a b b c c a + + ≥ + + + + +

---------------Hết----------------

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

2

PGD&ĐT TP THANH HOÁ TRƯỜNG THCS TRẦN MAI NINH

Biểu chấm gồm 02 trang

HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU CHẤM KHẢO SÁT CHỌN ĐỘI TUYỂN TOÁN 8 - VÒNG II

NĂM HỌC 2023 – 2024

Bài Nội dung cần đạt Điểm

Bài 1

4,0đ

a) Phân tích đa thức: 8x3 + y3 + z3 – 6xyz thành nhân tử. 2,0 Ta có: 3 3 3 3 3 8 6 (2 ) 6 (2 ) 6 x y z xyz x y xy x y z xyz + + − = + − + + −

2 2

2 2 2 (2 )[(2 ) (2 ) ] 6 (2 )

(2 )(4 2 2 )

x y z x y z x y z xy x y z

x y z x y z xy xz yz

= + + + − + + − + +

= + + + + − − −

0,75 0,75

0,5

b) Cho a + b = x + y và a2 + b2 = x2 + y2. Chứng minh: an + bn = xn + yn (với mọi số tự nhiên n)

2,0

2 2 2 2 ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0

( )( ) 0 0

Do a b x y a x a x y b y b Mà a b x y nên a x y b y b a x y b y b y b a x y b y b

b y b y y b a x b y a x b y a x b y

+ = + ⇒ − + = − + + = + − = − ⇒ − + = − + ⇒ − + − − + =

= =   ⇒ − + − − = ⇒ ⇒   + − − = + = +  

Xảy ra 2 trường hợp: TH1: b = y khi đó a = x thì an + bn = xn + yn TH 2: a + x = b + y mà a + b = x + y => a = y và b = x Khi đó an + bn = xn + yn Vậy với a + b = x + y và a2 + b2 = x2 + y2 thì an + bn = xn + yn (với mọi số tự nhiên n).

0,5

0,5

0,5

0,5

Bài 2

4.0đ

a) Với a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu 2 2 4a + 3ab 11b − chia

hết cho 5 thì − 4 4 a b chia hết cho 5.

2,0

Ta có: + − + −   2 2 2 2 4a 3ab 11b 5 ; 5a 5ab 10b 5

( ) ( )

( )

+ − − + −

⇒ + + ⇒ +



 

2 2 2 2

2 2 2

5a 5ab 10b 4a 3ab 11b 5

a 2ab b 5 a b 5

⇒ +  a b 5 (Vì 5 là số nguyên tố)

( )( )( ) ⇒ − = + + −  4 4 2 2 a b a b a b a b 5

0,5

0,5

0,5

0,5 b) Tìm phần dư của phép chia đa thức ( ) P x cho đa thức ( )( ) 1 2 . − + x x

Biết rằng đa thức ( ) P x chia cho ( ) 1 − x dư 7 và chia cho ( ) 2 + x dư 1.

2,0

Do ( )( ) 2 1 2 2 − + = − + x x x x là đa thức bậc hai nên phần dư của phép chia ( ) P x

cho ( )( ) 1 2 − + x x là một đa thức có bậc nhỏ hơn 2.

Gọi phần dư cần tìm là ( ) , ax b a b + ∈.

Ta có tồn tại các đa thức ( ) ( ) ( ) 1 2 3 , , Q x Q x Q x thỏa mãn:

0,25

0,75