Đề HSG Toán 8 vòng 1 năm 2023 - 2024 trường THCS Trần Mai Ninh - Thanh Hóa

1

PGD&ĐT TP THANH HOÁ TRƯỜNG THCS TRẦN MAI NINH

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề thi có 01 trang

ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN ĐỘI TUYỂN TOÁN 8 NĂM HỌC 2023 – 2024 (VÒNG I) Ngày thi 02 tháng 12 năm 2023 Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề Bài 1: (4,0 điểm)

a) Cho x – y = 2. Tính giá trị của biểu thức: M = 2( x3 – y3) – 3( x + y)2

b) Cho 1 1 1 2; . a b c abc a b c + + = + + = Chứng minh: 2 2 2 1 1 1 1 1 1. a b c a b c + + = + +

Bài 2: (4,0 điểm)

a) Tìm x biết: (x – 3)3 + (2x – 1)3 = (3x – 4)3

b) Tìm a, b để đa thức f(x) = ax3 + bx2 + 5x – 50 chia hết cho đa thức

g(x) = x2 + 3x – 10.

Bài 3: (4,0 điểm)

a) Tìm số tự nhiên n để B = n3 – n2 – 7n + 10 là số nguyên tố.

b) Tìm n nguyên để C = n4 + 2n3 + 2n2 + n +7 là số chính phương

Bài 4: (6,0 điểm)

1) Cho tam giác ABC vuông tại A, O là trung điểm của BC. Vẽ tia Bx vuông góc

với BC (Bx cùng phía với điểm A đối với đường thẳng BC). Qua A vẽ đường thẳng

vuông góc với AO cắt Bx ở M. Đường thẳng qua O và song song với AB cắt AM ở D,

AC ở F. Đường thẳng MO cắt AB ở E.

a) Chứng minh rằng: EF = AO.

b) BD cắt CM ở I Chứng minh rằng: Ba điểm E, I, F thẳng hàng.

2) Cho tam giác MNP có MN = 5cm, MP = 6cm, NP = 7cm. Gọi I là giao điểm

của ba đường phân giác, G là trọng tâm của tam giác MNP. Chứng minh rằng: IG//MP

Bài 5: (2,0 điểm)

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn 0 , , 1 a b c ≤ ≤. Chứng minh rằng:

2 2 2 a b c 1 ab bc ac + + ≤+ + +

---------------Hết----------------

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

2

PGD&ĐT TP THANH HOÁ TRƯỜNG THCS TRẦN MAI NINH

Biểu chấm gồm 02 trang

HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU CHẤM KHẢO SÁT CHỌN ĐỘI TUYỂN TOÁN 8 - VÒNG I

NĂM HỌC 2023 – 2024

Bài Nội dung cần đạt Điểm

Bài 1

4,0đ

a) Cho x – y = 2. Tính giá trị của biểu thức: M = 2( x3 – y3) – 3( x + y)2 2,0

Ta có:

M = 2(x3 – y3) – 3(x + y)2 = 2(x – y)(x2 + xy + y2) – 3(x2 + 2xy+ y2)

M = (x – y)2

Mà x – y = 2 nên M = (x – y)2 = 4.

Vậy với x – y = 2 thì M = 4.

0,5

0,5

0,5

0,5

b) Cho 1 1 1 2; . a b c abc a b c + + = + + = Chứng minh:

2 2 2 1 1 1 1 1 1. a b c a b c + + = + +

2,0

2

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 4 4

1 1 1 2( ) 4

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2

Vì a b c a b c a b c ab bc ca a b c a b c abc Mà a b c abc

a b c a b c a b c

  + + = ⇒ + + = ⇒ + + + + + =     + + ⇒ + + + =

+ + =

+ + = ⇒ + + = + +

0,75

0,5

0,75

Bài 2

4.0đ

a) Tìm x biết: (x – 3)3 + (2x – 1)3 = (3x – 4)3 2,0

Đặt x – 3 = a; 2x – 1 = b thì 3x – 4 = a + b.

Ta có:

3 3 3

3 0 3 0 1 ( ) 3 ( ) 0 0 2 1 0 2 0 3 4 0 4 3

x a x a b a b ab a b b x x a b x x

 = = − =       + = + ⇒ + = ⇒ = ⇒ −= ⇒ =      + = − =    = 

Vậy

1 4 3; ; 2 3 x   ∈   

1,5

0,5

b) Tìm a, b để đa thức f(x) = ax3 + bx2 + 5x – 50 chia hết cho đa thức

g(x) = x2 + 3x – 10.

2,0

3

Ta có: g(x) = (x +5)(x – 2)

f(x) chia hết cho g(x) nên f(x) = (x +5)(x – 2).k(x)

=> f(2) = 0 và f(-5) = 0

Từ f(2) = 0 => 8a + 4b + 10 – 50 = 0 => 2a + b = 10 (1)

Từ f(-5) = 0 => -125a + 25b – 25 – 50 = 0 => – 5a + b = 3 (2)

Từ (1) và (2) suy ra a = 1; b = 8

Vậy a = 1; b = 8 thì f(x) chia hết cho g(x).

0,25

0,75

0,25

0,25

0,25

0,25

Bài 3

4,0đ

a) Tìm số tự nhiên n để B = n3 – n2 – 7n + 10 là số nguyên tố. 2,0

Ta có: B = (n – 2)(n2 + n – 5)

B là số nguyên tố nên (n – 2) và (n2 + n – 5) là ước của 1

+ Nếu (n – 2) = 1 thì n = 3 khi đó B = 7 (chọn)

Nếu (n – 2) = -1 thì n = 1 khi đó B = 3 (chọn)

Nếu n2 + n – 5 = 1 thì (n + 3)(n – 2) = 0

Với n là số tự nhiên nên n = 2 khi đó B = 0 (loại)

Vậy n = 3 và n = 1 thì B là số nguyên tố.

0,5

0,5

0,5

0,5

b) Tìm n nguyên để C = n4 + 2n3 + 2n2 + n +7 là số chính phương 2,0

Ta có: 4 3 2 4 3 2 2 2 2 7 2 7 C n n n n n n n n n = + + + + = + + + + +

2 2 1) ( +1) 7 ( n n n n = + + + . Đặt n(n+1) = y ta có C = y2 + y + 7

Vì C là số chính phương nên

2 2 2 2 2 2 : 7 ( ) 4 4 4 28 4 (2 1) 27 (2 2 1)(2 2 1) 27 2 2 1 2 2 1; 2 2 1 2 2 1 4

2 2 1 1 7 *) 2 2 1 27 6

6 ( 1) 6 ( ) 2; 3

2 2 1 1 *) 2 2 1 27

Tacó y y k k N k y y k y k y k y Vì k y k y k y k y k

k y k k y y

Khi y ta …