Đề học sinh giỏi Toán 8 năm 2023 - 2024 trường THCS Phúc Thọ - Nghệ An

PHÒNG GIÁO DỤC NGHI LỘC TRƯỜNG THCS PHÚC THỌ

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2023-2024

MÔN: TOÁN 8 (Thời gian làm bài 120 phút)

Bài 1 (4,0 điểm)

1) Tính giá trị biểu thức

2 2

2 2 63 47 215 105 A − = −

2) Tính giá trị của biểu thức 6 5 4 3 2 50 50 50 50 50 50 B x x x x x x = − + − + − + tại x = 49

Bài 2 (4,0 điểm)

1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử 3 2 2 2 x x x xy − + −

2) Tìm số tự nhiên n để 2 2 20 n n + + là số chính phương.

Bài 3 (5,0 điểm)

1) Cho các số thực a, b, c thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng:

1 1 1 1 a b c ab a bc b ca c + + = + + + + + +

2) Cho a, b, c là các số nguyên thoả mãn 3 a b 2024c c + + = . Chứng minh rằng: 3 3 3 a b c + + chia hết cho 6 3) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thoả mãn 2 2022 2023 2024 0 x xy x y − − + − =

Bài 4 (6,0 điểm)

1) Cho hình vuông ABCD trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q sao cho AM = BN = CP = DQ. a) Chứng minh MNPQ hình vuông. b) Tìm vị trí của M, N, P, Q để diện tích tứ giác MNPQ đạt giá trị nhỏ nhất. 2. Cho tam giác ABC (AB <AC), M là trung điểm của BC. Một đường thẳng qua M và song song với phân giác của góc BAC cắt AC, AB lần lượt tại E, F. Chứng minh CE = BF

Bài 5 (1,0 điểm):

Cho các số nguyên dương a và b thoả mãn ( ) 2 2 3 2023 S a b ab a b = + + + + + chia hết

cho 5. Tìm số dư khi chia a - b cho 5

Họ và tên thí sinh: ................................................................................................................

Số báo danh: .................................................Phòng.............................................................

ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM TOÁN 8

Bài Nội dung Điểm

Bài1 (4,0 đ)

( )( ) ( )( )

2 2

2 2 63 47 63 47 63 47 1) 215 105 215 105 215 105

16.110 1 110.320 20

A − + − = = − − +

= =

1,0 1,0

2) Ta có x = 49 nên x + 1 = 50 thay vào biểu thức B, ta được

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 5 4 3 2

6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 1 1 1 1

1 1

B x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x

= − + + + − + + + − + + +

= − − + + − − + + − − + + =

0,5 0,5 0,5 0,5

Bài 2 (4,0 đ)

1) ( ) 3 2 2 2 2 2 2 1 x x x xy x x x y − + − = − + −

( )

( )

( )( ) ( )( )

2 2

2 2

2 1

1

1 1

1 1

x x x y

x x y

x x y x y

x x y x y

  = − + −  

  = − −   = −− −+

= − − + −

0,5 0,5 0,5 0,5 2) Đặt 2 2 2 20 p n n = + +

( )

( ) ( )( )

2 2

2 2 1 19

1 19

1 1 19

p n

p n

p n p n

= + +

− + =

− − + + =

Do p, n là các số tự nhiên nên (p - n - 1) < (p + n + 1)

Khi đó 1 1 1 19 p n p n − −=   + + = 

Suy ra n = 8 (TM)

0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5

Bài 3 (5,0 đ)

1) 1 1 1 1 a b c abc b cb ab a bc b ca c abbc abc bc bc b cab cb b + + = + + + + + + + + + + + + + +

1 1 1 1 b bc bc b bc b bc b = + + + + + + + +

1 1 1 b bc bc b + + = = + + (đpcm)

0,5 0,5 0,5

2) Ta có 3 a b 2024c c + + =

( )( )

3 2022

1 1 2022

a b c c c c

a b c c c c c

+ + = −−

+ + = − + −

Ta có ( )( ) 1 1 6 c c c − + ; 2022 6 c nên ( ) 6 a b c + + 

Xét ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 ( ) ( ) a b c a b c a a b b c c + + − + + = − + − + −

( )( ) ( )( ) ( )( ) 1 1 1 1 1 1 a a a b b b c c c = − + + − + + − +

Ta có ( )( ) 1 1 6 a a a − + ; ( )( ) 1 1 6 b b b − + ; ( )( ) 1 1 6 c c c − + 

Nên ( ) 3 3 3) ( a b c a b c + + − + + chia hết cho 6

0,5 0,5 0,25