Đề kiểm tra CLB Toán 8 năm 2023 - 2024 trường THCS Cầu Giấy - Hà Nội

PHÒNG GD & ĐT QUẬN CẦU GIẤY

TRƯỜNG THCS CẦU GIẤY

ĐỀ KIỂM TRA CLB VĂN HÓA LỚP 8

Môn kiểm tra: Toán Ngày thi: 12/09/2023 Thời gian làm bài: 90 phút (Không tính thời gian phát đề)

Bài 1. (6,0 điểm)

1. Cho biểu thức 1 2 3 2023 2024 1 2 2 2 2 2 . M = − + − + − + 

Chứng minh rằng

2025 1 2 . 3 M + =

2. Tìm x biết 1 2 3 . x x x + + + =

Bài 2. (3,0 điểm)

Cho đa thức ( ) , f x ax b = + với ,a b là các số nguyên, 0. a ≠ Biết giá trị của đa thức tại

1 x = và 3 x = tỉ lệ với 2 và 2. − Chứng minh rằng b chia hết cho . a

Bài 3. (4,0 điểm)

1. Chứng minh rằng 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ... . 2 2 4 6 100 A = + + + + <

2. Tìm các số hữu tỉ dương ,x y thỏa mãn 1 1 x y x y + + + là một lũy thừa của 2.

Bài 4. (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A ( ), AB AC < đường cao AH ( ). H BC ∈ Dựng

HM AB ⊥ tại , M HN AC ⊥ tại . N Gọi I là giao điểm của AH với . MN

1. Chứng minh rằng AMH HNA ∆ = ∆ và . IM IN =

2. Gọi O là trung điểm của , BC Q là giao điểm của HN và . OA Chứng minh rằng

ANQ HMB ∆ = ∆ và || . BQ MN

3. Gọi J là giao điểm của BQ và . AH Chứng minh rằng  . BJO MNC =

Bài 5. (1,0 điểm)

Khi trên bảng ghi 2023 số tự nhiên 1,2,3, ,2023,  cần xóa đi ít nhất bao nhiêu số để

các số còn lại trên bảng có tính chất không có 3 số nào mà một trong 3 số đó bằng tích của 2 số còn lại.

-----------HẾT-----------

Họ và tên thí sinh: ……………………………………… Số báo danh: …………………….

ĐỀ CHÍNH THỨC

PHÒNG GD & ĐT QUẬN CẦU GIẤY

TRƯỜNG THCS CẦU GIẤY

ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA CLB VĂN HÓA LỚP 8

Môn kiểm tra: Toán Ngày thi: 12/09/2023 Thời gian làm bài: 90 phút (Không tính thời gian phát đề)

BÀI Ý HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM

1

1

Cho biểu thức 1 2 3 2023 2024 1 2 2 2 2 2 . M         Chứng minh rằng

2025 1 2 . 3 M   3,0

1 2 3 2023 2024

1 2 3 2024 2025 1 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

M

M

      

      





1,5

2025 2 1 2 M M     1,0

2025 1 2 3 M    0,5

2

Tìm x biết 1 2 3 . x x x     3,0

VT > 0  VP > 0 0 x   1,0

1 0 1 1

2 0 2 2

x x x

x x x

             

1,0

1 2 3 x x x      0,5

3 x  0,5

2 1

Cho đa thức ( ) , f x ax b   với ,a b là các số nguyên, 0. a  Biết giá trị của đa

thức tại 1 x  và 3 x  tỉ lệ với 2 và 2.  Chứng minh rằng b chia hết cho . a

2,0

(1) , f a b   (3) 3 f a b   0,5

3 2 2 2 4 2 a b a b a a         1,0

2 a b a b a     0,5

Do ,a b là các số nguyên, 0 a b   chia hết cho . a

3 1

Chứng minh rằng: 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ... 2 4 6 100 2 A = + + + + < 2,0

2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 ... 2 2 3 4 100 4 1.2 2.3 3.4 99.100 A     = + + + + + < + + + + +        

=> 1 1 1 1 1 1 1 4 100 2 400 2 A   < + − = − <    

1,0

1,0

ĐỀ CHÍNH THỨC

BÀI Ý HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM

2

Tìm các số hữu tỉ dương ,x y thỏa mãn + + + 1 1 x y x y là một lũy thừa của 2. 2,0

Có = = , a c x y b d với , , , a b c d là các số nguyên dương thỏa mãn = = ( ; ) ( ; ) 1. a b c d Khi

đó, biểu thức đã cho viết lại thành

+ + + + + + =

2 2 2 2 1 1 ( ) ( ). cd a b ab c d x y x y abcd

0,5

Từ yêu cầu bài toán ta có + + + 2 2 2 2 ( ) ( ) cd a b ab c d chia hết cho . abcd Suy ra

+ 2 2 ( ) cd a b chia hết cho . ab Từ 2 2 ( , ) 1 ( , ) 1 a b a b ab cd = ⇒ + = ⇒ chia hết cho . ab Hoàn toàn tương tự có ab chia hết cho . cd Suy ra = . ab cd Khi đó

+ + + + + + =

2 2 2 2 1 1 . a b c d x y x y ab

0,5

Gọi n là số tự nhiên mà + + + = 1 1 2 . n x y x y Ta có

≥ ⋅ + ⋅ = ⇒ ≥ 1 1 2 2 2 4 2. n x y n x y Mặt khác có + + + = 2 2 2 2 2 . n a b c d ab Nếu

≥ ⇒ + + + 2 2 2 2 3 n a b c d chia hết cho 8. Từ tính chất số chính phương khi chia cho 8, ta suy ra cả 4 số , , , a b c d đều là số chẵn. Điều này mâu thuẫn với

= = ( ; ) ( ; ) 1. a b c d Do đó = 2. n

0,5

Khi đó = > = > ⇒ = = 1 1 0, 0 1. x y x y x y 0,5

4 1

Vì , HM AB AB AC   suy ra / / HM AC ( từ vuông góc đến song song) dẫn đến

  MHA NAH  ( hai góc so le trong)

2,0

P

J

P

Q

O

N

M

H B

A

C

I