Đề học sinh giỏi Toán 8 năm 2022 - 2023 phòng GDĐT Bình Lục - Hà Nam

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN BÌNH LỤC

ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG

HỌC SINH GIỎI LỚP 8

NĂM HỌC 2022-2023

MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 120 phút)

Bài 1 (4,0 điểm). Cho biểu thức A = ቀ ??2

??3−4??+ 6

6−3??+ 1

??+2ቁ: ቀ??−2 + 10−??2

??+2 ቁ a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị của biểu thức A tại ?? thỏa mãn |??+ 1| = |−1| c) Tìm giá trị nguyên của ?? để biểu thức A có giá trị nguyên. Bài 2 (3,5 điểm). 1. Phân tích đa thức thành nhân tử a) 2??2 + 3??−27 b) 3??(?? +2)(3??2 + 6??+ 2)+1 2. Cho ??, ??, ?? đôi một khác nhau thỏa mãn (??+ ??+ ??)2 = ??2 + ??2 + ??2

Chứng minh ??2

??2+2????+ ??2

??2+2????+

??2

??2+2???? = 1

Bài 3 (3,0 điểm).

1. Giải phương trình 1

??2−7??+12 + 2

??2−10??+24 + 3

??2−15??+54 = 2

9 2. Tìm số nguyên ?? để ??2 −2??−4 là số chính phương Bài 4 (6,0 điểm). Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a, M là một điểm bất kì trên cạnh BC. Tia Ax vuông góc với AM cắt đường thẳng CD tại K. Gọi I là trung điểm của MK. Tia AI cắt đường thẳng CD tại E. Đường thẳng qua M song song với AB cắt AI tại N. a) Tứ giác MNKE là hình gì? Vì sao? b) Chứng minh AM2 = KC. KE c) Chứng minh chu vi tam giác MEC không đổi khi M di động trên cạnh BC. d) Gọi F là giao điểm của AM với đường thẳng DC. Chứng minh 1

AF2 + 1

AM2 không phụ thuộc vào vị trí điểm M

Bài 5 (3,5 điểm). 1. Cho ??, ??, ??> 0 ??à ??+ ??+ ??= 1. Chứng minh 1

??2+2????+ 1

??2+2????+ 1

??2+2????≥9

2. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước sau 4 giờ thì đầy bể. Người ta mở 2 vòi chảy trong 2 giờ, sau đó tắt vòi 1 đi, vòi 2 chảy tiếp trong 3 giờ nữa thì bể đầy. Hỏi mỗi vòi chảy một mình trong bao lâu thì đầy bể.

---Hết---

Giám thị 1: ……………………………. Họ và tên học sinh:……………….……….………. Giám thị 2: ……………………………. Số báo danh:………………..………………….……

2

HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 8 Câu Đáp án Điểm 1 a) Rút gọn (2điểm)

A=ቀ ??2

??3−4??+ 6

6−3??+ 1

??+2ቁ: ቀ??−2 + 10−??2

??+2 ቁ ( ĐKXĐ: ??≠0; ??≠2; ??≠−2)

A= ቀ ??2

??(??−2)(??+2) − 6

3(??−2) + 1

??+2ቁ: ቀ??−2 + 10−??2

??+2 ቁ

= ቀ 3??2

3??(??−2)(??+2) − 6??(??+2)

3??(??+2)(??−2) + 3??(??−2)

3??(??+2)(??−2)ቁ: ቀ (??−2)(??+2)

??+2 + 10−??2

??+2 ቁ

= 3??2−6??2−12??+3??2−6??

3??(??−2)(??+2) : ??2−4+10−??2

??+2

= −18??

3??(??−2)(??+2). ??+2

6

= −1

??−2

0,25 0,25 1,0 0,5

b) (1 điểm). Vì ?? thỏa mãn |??+ 1| = |−1|

⟺ ?? =0( tmđk) hoặc ?? =-2( không tmđk) Tại ?? =0 ta có A = 1

2

0,5 0,5

c) (1 điểm). Để A có giá trị nguyên thì

−1

??−2 có giá trị nguyên ⇒??−2 ∈{1; −1} ?? -2 1 -1 ?? 3(tmđk) 1(tmđk) Vậy: ?? =3; ?? =1 thì biểu thức A có giá trị nguyên

0,25 0,5 0,25

2 1) Phân tích đa thức thành nhân tử (2 điểm) a) 2??2 + 3??−27 = 2??2 + 9??−6??−27= ??(2?? +9)-3(2?? +9) = (2?? +9)(?? -3)

a) 3??(??+ 2)(3??2 + 6??+ 2)+1

= (3??2 + 6??)( 3??2 + 6??+ 2)+1 Đặt 3??2 + 6??= ??. Ta có: ??(??+ 2) + 1 = ??2 + 2??+ 1=(??+ 1)2= (3??2 + 6??+ 1)2

0,5 0,5 0,5 0,5

2) Cho a,b,c đôi một khác nhau thỏa mãn: (??+ ??+ ??)2 = ??2 + ??2 + ??2

Chứng minh: ??2

??2+2????+ ??2

??2+2????+

??2

??2+2???? =1 (1,5 điểm). Từ Gt: (??+ ??+ ??)2 = ??2 + ??2 + ??2 ⟹??2 + ??2 + ??2 + 2????+ 2????+ 2????= ??2 + ??2 + ??2 ⟹????+ ????+ ????= 0 Nên ??2 + 2????= (??−??)(??−??) Tương tự ta có: ??2 + 2????= (??−??)(??−??); ??2 + 2????= (??−??)(??−??)

Khi đó: ??2

??2+2????+ ??2

??2+2????+

??2

??2+2????

= ??2

(??−??)(??−??) + ??2

(??−??)(??−??) +

??2

(??−??)(??−??) = ??2(??−??)+??2(??−??)+??2(??−??)

(??−??)(??−??)(??−??)

= (??−??)(??−??)(??−??)

(??−??)(??−??)(??−??) = 1

0,25 0,5 0,25 0,5