Đề thi HSG huyện Toán 8 năm 2022 - 2023 phòng GDĐT Tam Dương - Vĩnh Phúc

PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 8 CẤP HUYỆN

NĂM HỌC: 2022 – 2023

ĐỀ THI MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Ghi chú: - Đề thi này có 01 trang

- Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay Câu 1. (2.0 điểm)

Tìm các số a, b sao cho đa thức ( ) 3 2 P x ax bx 5x 50 = + + − chia hết cho đa thức

2 x 3x 10 + − Câu 2. (2.0 điểm)

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC thỏa mãn hệ thức

3 3 3 a b c 3abc + + = . Hỏi tam giác ABC là tam giác gì? Câu 3. (2.0 điểm)

Giải phương trình x a x b x c 1 1 1 2 bc ca ab a b c − − −   + + = + +    

. Biết a, b, c là các số khác 0 và

thỏa mãn điều kiện a + b + c ≠ 0 Câu 4. (2.0 điểm)

Cho hai số chính phương liên tiếp. Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ. Câu 5. (2.0 điểm)

Tìm các số nguyên x, y, z sao cho ( ) ( ) 3 2 x y 3 y z 5 z x 35 − + − + − = . Câu 6. (2.0 điểm)

Cho điểm O thuộc miền trong của tam giác ABC. Các tia AO, BO, CO cắt các cạnh của tam giác ABC lần lượt tại G, E, F.

Chứng minh rằng: OA OB OC 2 AG BE CF + + = .

Câu 7. (2.0 điểm)

Cho ba số nguyên x, y, z có tổng chia hết cho 6. Chứng minh rằng biểu thức ( )( )( ) M x y y z z x 2xyz = + + + − chia hết cho 6. Câu 8. (4.0 điểm)

Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M, N.

a) Chứng minh rằng 1 1 2 AB CD MN + =

b) Biết 2 AOB S 2022 = ; 2 COD S 2023 = . Tính ABCD S . Câu 9. (2.0 điểm)

Trên tờ giấy kẻ vô hạn các ô vuông và được tô bởi các màu đỏ hoặc xanh thỏa mãn: bất cứ hình chữ nhật nào có kích thước 2x3 thì có đúng hai ô màu đỏ. Hỏi hình chữ nhật có kích thước 2022x2023 có bao nhiêu ô màu đỏ.

------------------------------Hết------------------------------

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!

HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. (2.0 điểm) Tìm các số a, b sao cho đa thức ( ) 3 2 P x ax bx 5x 50 = + + − chia hết cho đa

thức

2 x 3x 10 + −

Lời giải: Ta có: ( )( ) 2 x 3x 10 x 2 x 5 + − = − +

Vì ( ) P x chia hết cho 2 x 3x 10 + − ⇒ ( ) P x chia hết cho x – 2 và x + 5

Suy ra: ( ) P 2 8a 4b 40 0 2a b 10 = + − = ⇔ + = (1) ( ) P 5 125a 25b 75 0 5a b 3 − = − + − = ⇔− + = (2) Từ (1) và (2) tính được: a = 1; b = 8 Vậy: a = 1; b = 8 Câu 2. (2.0 điểm) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC thỏa mãn hệ thức

3 3 3 a b c 3abc + + = . Hỏi tam giác ABC là tam giác gì?

Lời giải: Ta có:

3 3 3 a b c 3abc + + = ⇔ ( ) ( ) 3 3 a b c 3ab a b 3abc 0 + + − + − =

⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) 3 a b c 3 a b c a b c 3ab a b c 0 + + − + + + − + + =

⇔ ( ) ( ) ( ) 2 a b c a b c 3 a b c 3ab 0   + + + + − + − =  

⇔ ( )( ) 2 2 2 a b c a b c 2ab 2bc 2ca 3ca 3bc 3ab 0 + + + + + + + − − − =

⇔ ( )( ) 2 2 2 a b c a b c ab bc ca 0 + + + + − − − =

Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC ⇒ a + b + c > 0

⇒

2 2 2 a b c ab bc ca 0 + + − − − = ⇔

2 2 2 2a 2b 2c 2ab 2bc 2ca 0 + + − − − = ⇔ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 a b b c c a 0 − + − + − =

⇔ a – b = b – c = c – a = 0 ⇔ a = b = c. Vậy tam giác ABC đều.

Câu 3. (2.0 điểm) Giải phương trình x a x b x c 1 1 1 2 bc ca ab a b c − − −   + + = + +    

. Biết a, b, c là các số

khác 0 và thỏa mãn điều kiện a + b + c ≠ 0

Lời giải: ĐK: a b c 0 + + ≠ và a,b,c là các số khác 0

Ta có: x a x b x c 1 1 1 2 bc ca ab a b c − − −   + + = + +    

( ) ( ) ( ) x a a x b b x c c bc ac ab 2 abc cab abc abc bac cab − − −   ⇔ + + = + +    

( ) ( ) 2 2 2 a b c x a b c 2ab 2bc 2ca abc abc

+ + − + + + + ⇔ =

( ) ( ) 2 a b c x a b c ⇒ + + = + + (vì abc 0 ≠ )