Đề thi HSG Toán 8 cấp trường năm 2020 - 2021 trường THCS Đông Kinh - Lạng Sơn

1

PHÒNG GD VÀ ĐT THÀNH PHỐ

TRƯỜNG THCS ĐÔNG KINH

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 8

NĂM HỌC 2020-2021

MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút (Đề thi gồm có 01 trang, 04 bài) Bài 1: (4 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) 5x2 - 26x + 24 c) x2 + 6x + 5

b) 1 2 3 4 3 8 1 2 3    x x x d) x4 + 2015x2 + 2014x + 2015

Bài 2: (6 điểm)

a) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:

(6 x + 7)(2 x – 3) – (4 x + 1) 7 3 4 x       

b) Tính giá trị biểu thức P = x y x y   . Biết x 2 – 2 y 2 = x y (x + y ≠ 0, y ≠ 0).

c) Tìm số dư trong phép chia của biểu thức      2 4 6 8 2015 x x x x      cho đa

thức

2 10 21 x x   . d) Tính tổng các hệ số trong khai triển (1−2x)2021

e) Chứng minh rằng: 2 4 3 8, A n n n      là số tự nhiên lẻ

f) Tìm hế số a để: 5 4 5 9 1 ax x x    

Bài 3 : (7 điểm) Cho hình vuông ABCD. Qua A vẽ hai đường thẳng vuông góc với nhau lần lượt cắt BC tại P và R, cắt CD tại Q và S.

a) Chứng minh AQR và APS là các tam giác cân. b) QR cắt PS tại H; M, N là trung điểm của QR và PS. Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật.

c) Chứng minh P là trực tâm tam giác SQR. d) Chứng minh MN là đường trung trực của AC. Bài 4 : (3 điểm)

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 13x2 + y2 + 4xy - 2y - 16x + 2015

b) Cho hai số a,b thỏa mãn điều điều kiện a + b = 1. Chứng minh a3 + b3+ ab 2

1

--------------- Hết ------------------

ĐỀ CHÍNH THỨC

2

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG THCS ĐÔNG KINH

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 8

NĂM HỌC 2020-2021

MÔN: TOÁN (HDC gồm có 03 trang 04 bài) HƯỚNG DẪN CHẤM

BÀI NỘI DUNG THANG

ĐIỂM Bài 1 4 điểm

a) 5x2 - 26x + 24 = 5x2 - 6x - 20x + 24 = x(5x - 6) - 4(5x - 6) = (5x - 6)(x - 4)

1 điểm

b) 1 2 3 4 3 8 1 2 3    x x x = 3 2 2 3

1 1. 2 1 .3 1. 2 1 .3 2 1                      x x x =

3 1 2 1        x 1 điểm

c) x2 + 6x + 5 = x2 + x + 5x + 5 = x(x + 1) + 5(x + 1) =   5 1   x x 1 điểm d) x4 + 2015x2 + 2014x + 2015 = x4 + x3 + x2 – x3 – x2 – x + 2015x2 + 2015x +2015 = x2 (x2 + x + 1) – x(x2 + x + 1) + 2015(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 – x + 2015)

1 điểm

Bài 2 6 điểm a) ( 6 x + 7)(2 x – 3) – (4 x + 1) 7 3 4 x        = 12x2 – 18x + 14x - 21 – 12x2

+ 7x – 3x + 7

4 = 77

4 

1 điểm

b) x2 – 2y2 = xy  x2 – xy – 2y2 = 0  (x + y)(x – 2y) = 0

Vì x + y ≠ 0 nên x – 2y = 0  x = 2y .Khi đó A = 2 1 2 3 3 y y y y y y    

1 điểm

c)         2 2 ( ) 2 4 6 8 2015 10 16 10 24 2015 P x x x x x x x x x             Đặt 2 10 21 ( 3; 7) t x x t t      , biểu thức P(x) được viết lại:   

2 ( ) 5 3 2015 2 2000 P x t t t t        Do đó khi chia 2 2 2000 t t   cho t ta có số dư là 2000

1 điểm

d) Gọi f(x)= (1−2x)2020 => f(1)= (1−2.1)2020= (-1)2020 = 1 Vậy tổng các hệ số trong khai triển là 1

1 điểm

e)    1 3 A n n    , Vì n là số lẻ, Đặt

     2 1, 2 2 2 4 8 n k k N A k k        

1 điểm

f) Theo định lý Bơ- Zu ta có :

Dư của 

5 4 5 9 f x ax x   , khi chia cho x - 1 là 1 5 9 4 f a a    

Để có phép chia hết thì 4 0 4 a a    

1 điểm

HDC CHÍNH THỨC