Đề thi HSG Toán 8 năm 2019 - 2020 phòng GDĐT Lập Thạch - Vĩnh Phúc

PHÒNG GD& ĐT LẬP THẠCH

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2019 – 2020

MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (1.5 điểm) Cho biểu thức:

2 2

2 2 3 2 2 2 1 2 A 1 2 8 8 4 2 x x x x x x x x x                    

.

a) Tìm x để giá trị của A được xác định. Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.

Câu 2:(1.5 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) 4 x 4 

b) x4 + 2020x2 + 2019x + 2020.

Câu 3: (2 điểm) Tìm số tự nhiên n để:

a, A= n3-n2+n-1 là số nguyên tố.

b, B= n5-n+2 là số chính phương. ( ; 2 n N n   )

Câu 4: (1.5 điểm)

a) Giải phương trình : 18

1 42 13

1 30 11

1 20 9

1

2 2 2          x x x x x x

b) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng :

3          c b a

c b c a

b a c b

a

Câu 5: (0.5 điểm)Cho a > b > 0 so sánh 2 số x , y với :

x = 2 1 1

a a a    ; y = 2 1 1

b b b   

Câu 6: (3 điểm)Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH

(HBC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại

D cắt AC tại E.

a) Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE

theo m AB  .

b) Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và

BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM

c) Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: GB HD BC AH HC   .

-------------------------Hết------------------ Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

ĐỀCHÍNH THỨC

PHÒNG GD- ĐT LẬP THẠCH

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 8 . NĂM HỌC 2019 - 2020

Câu Nội dung Điểm

Câu 1

(1.5đ)

Cho biểu thức:

2 2

2 2 3 2 2 2 1 2 A 1 2 8 8 4 2 x x x x x x x x x                    

.

a) Tìm x để giá trị của A được xác định. Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.

a)

+)A được xác định  2 3 2 0 0

8 4 2 0 4(2 ) (2 ) 0

x x

x x x x x x

                

2 0 0 0 2 0 2 (2 )(4 ) 0

x x x x x x x

                    

+) ĐKXĐ : 2; 0 x x  

0.25

* Rút gọn :

Ta có

2 2

2 2 3 2 2 2 1 2 A 1 2 8 8 4 2 x x x x x x x x x                    

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2( 4) 4(2 ) (2 ) x x x x x x x x x x                  

2 2 2

2 2 ( 2 )(2 ) 4 2 2 . 2( 4)(2 ) x x x x x x x x x x         

2 3 2 2

2 2 2 4 2 4 ( 1) 2( 1) . 2( 4)(2 ) x x x x x x x x x x x          

2

2 2 ( 4) ( 1)( 2) 1 . 2( 4)(2 ) 2 x x x x x x x x x         

0.75

b) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.

* 1 2 x

x   Z  x +1  2x  2x + 2  2x Mà 2x  2x

 2  2x  1  x  x = 1 hoặc x = -1 * Ta thấy x = 1 hoặc x = -1 (TMĐKXĐ)

+) Vậy A= 1 2 x

x   Z  x = 1 hoặc x = -1

0.5

Câu 2

(1.5đ)

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) 4 x 4  b) x4 + 2020x2 + 2019x + 2020.

a) x4 + 4 = (x4 + 4x2 + 4) - 4x2 = ( x2+2)2 - (2x)2

= (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x)

0.5

b) x4 + 2020x2 + 2019x + 2020 =    4 2 x x 2020x 2020x 2020     0.5

=      2 2 x x 1 x x 1 2020 x x 1       =    2 2 x x 1 x x 2020     0.5

Tìm số tự nhiên n để: