Đề thi Olympic Toán 8 năm 2016 - 2017 phòng GDĐT Thanh Oai - Hà Nội

phòng Giáo dục & Đào tạo

Thanh oai

§Ò thi olympic líp 8

Năm học 2016 - 2017

Môn thi : Toán Thời gian làm bài : 120 phút

(không kể thời gian giao đề )

Bài 1: (5 điểm)

1. Tìm số tự nhiên n để biểu thức sau là số nguyên tố 12n2 – 5n - 25

2. Giải phương trình:

a) x3 + 9x3 + 11x – 21 = 0 b) / 2x - x2 – 1/ = 2x - x2 - 1 Bài 2: (4 điểm)

1. Tìm số nguyên dương x, y sao cho: x3 + y3 + 4(x2 + y2 ) + 4 (x + y ) = 16xy

2. Cho a, b, x, y thỏa mãn:

4 4

2 2

1

1

x y a b a b x y

         

Chứng minh rằng:

2016 2016

1008 1008 1008 2 ( ) x y a b a b   

Bài 3: (5 điểm)

1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2 27 12x

9 x





2. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P = 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 3 2 3 2a 3 a b b c c        

Bài 4: (5 điểm)

Cho tam giác ABC. Gọi P là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác đó. Đường thẳng qua P và vuông góc với CP, cắt CA và CB theo thứ tự tại M và N. Chứng minh:

a) Δ AMP ~ Δ APB

b)

2 AM AP BN BP      

c) BC.AP2 + AC.BP2 + AB.CP2= AB. AC.BC Bài 5: (1 điểm) Chứng minh rằng giữa ba số nguyên tố lớn hơn 3 luôn tìm được hai số có

tổng hoặc hiệu chia hết cho 12.

------------------------ Hết --------------------------

(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

§Ò chÝnh thøc

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI

HD CHẤM THI OLYMPIC LỚP 8

NĂM HỌC 2016-2017

MÔN THI: TOÁN 8 Thời gian làm bài:120 phút

Câu Nội dung Điểm

Câu 1 ( 5 điểm)

1, A= 12n2 – 5n - 25 = (4n + 5)(3n-5) A là số nguyên tố và 4n + 5 > 0 -> 3n – 5 > 0 , 4n + 5 > 3n – 5 -> A là số nguyên tố -> 3n – 5 = 1 -> n = 2 Có A = 12.22 – 5.2 – 25 = 13 là số nguyên tố 2, a/ x3 + 9x2 + 11x – 21 = 0 <-> ( x3-1) + ( 9x2 – 9) + ( 11x – 11) = 0 <-> ( x – 1)(x2 + x + 1) + 9(x+1)(x-1)+ 11(x-1)= 0 <-> ( x – 1 )(x + 3 ) ( x + 7 ) = 0 -> x = 1 hoặc -3 hoặc -7 b/ / 2x - x2 – 1/ = 2x - x2 - 1 Do 2x - x2 – 1 = - (x – 1 ) 2  0 Pt <-> x2 - 2x + 1 = 2x - x2 – 1

<-> x = 1

0,5đ.

0,5đ.

1,0đ.

1,0đ.

1,0đ.

1,0đ. Câu 2 (4 điểm)

1) pt = ( x3 - 4x2+ 4x) + (y3 - 4y2+ 4y) + ( 8x2 + 8y2 -16xy) = 0 <-> x( x - 2)2 + y( y - 2)2 + 8(x – y)2 = 0 (1) Do x( x - 2)2  0 , y( y - 2)2  0, 8(x – y)2  0 (2) Từ (1), (2) -> x = y = 2

2)

4 4

2 2

1 (1)

1(2)

x y a b a b x y

         

Thay (1) =

2 2 2 ( ) x y  vào (1) có  

2 2 2 4 4 x y x y a b a b

   

... <-> bx2 = ay2 ->

2 2 2 2 1 x y x y a b a b a b      

->

2016 2016

1008 1008 1008 1 ( ) x y a b a b   

->

2016 2016

1008 1008 1008 2 ( ) x y a b a b   

1,5đ.

1,5đ.

0,5đ.

0,5đ.

Câu 3 ( 5 điểm) 1) A =   2 2 2

2 2 2 12x 36 ( 9) 27 12x ( 6) 1 1 9 9 9

x x x x x x

           

-> Min A = -1 <-> x = 6

2) Có  

2 2 2 0 2x x y x y y     

Áp dụng ta có:

2 2 2a a b b   ,

2 1 2 b b 

->

2 2 2 3 2(a 1) a b b b      -> 2 2 1 1 2 3 2( 1) a b ab b     

Tương tự:

  2 2 2 2 1 1 1 1 , 2 3 2 1 2a 3 2( 1) b c bc c c ac a          

P

1 1 1 1 2 1 1 1 ab b bc c ac a               

= 1 1 2 1 1 1 ab b ab b b ab ab b             

1 1 1 . 2 1 2 ab b ab b       ( Do abc = 1)

-> Pmax 1 2  <-> a = b = c = 1

2,0đ.

0,5đ.

0,5đ.

1,0đ

1,0đ.

Câu 4 (5 điểm)

a) AMP = 1ˆC = 900

APB = 1800 -

ˆ ˆ

2 2 A B         

= 1800 -

ˆ ˆ

2 A B 

= 1800 -

0 ˆ 180

2

C 

=

0 0 ˆ 180 90 2 C          

=

0

1 2 ˆ ˆ ˆ 90 , 2 C A A  

-> Δ AMP ~ Δ APB (g.g)

b) Tương tự Δ APB ~ Δ PNB

->

2 2 . AM AP PN AM PN AP AM AP MP PB NB MP NB BP NB BP                  

0,5đ.

1,5đ.

0,5đ.

1,5đ.