Đề thi học sinh giỏi Toán 8 năm 2016 - 2017 phòng GDĐT Giao Thủy - Nam Định

Bài 1 (5,0 điểm)

Cho biểu thức:

3 2

2 4 8 3 6 2 3 2 x x x A x x      

a. Rút gọn A.

b. Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.

Bài 2 (3,0 điểm)

a. Chứng minh rằng: n3 + 2012n chia hết cho 48 với mọi n chẵn.

b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = 1 2 x x

  với x là số nguyên.

Bài 3 (3,0 điểm)

Giải phương trình:

2

2 1 5 1 2 x x x x    .

Bài 4 (3,0 điểm)

Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn:

a. 5x2 + y2 = 17 + 2xy.

b. 2 2 1 3 ( 2) x x y       .

Bài 5 (6,0 điểm)

Cho hình bình hành ABCD, lấy điểm M trên BD sao cho MB  MD. Đường thẳng qua

M và song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại E và F. Đường thẳng qua M và song

song với AD cắt AB và CD lần lượt tại K và H.

a. Chứng minh: KF // EH.

b. Chứng minh: các đường thẳng EK, HF, BD đồng quy.

c. Chứng minh: SMKAE = SMHCF .

………….. Hết …………

Họ và tên thí sinh: …………………………………

Số báo danh: ………………………………………..

Họ, tên chữ ký GT1: …………………………………

Họ, tên chữ ký GT2: …………………………………

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

GIAO THỦY

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016-2017

Môn: TOÁN - Lớp 8 (Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề) ĐỀCHÍNH

Bài 1 (5,0điểm)

Hướng dẫn giải Điểm

a) (3,0điểm)

Rút gọn A - Phân tích được 4x3 - 8x2 + 3x - 6 = (x - 2)(4x2 + 3) 1,0 - Phân tích được 2x2 - 3x - 2 = (x - 2)(2x + 1) 1,0

- Rút gọn được kết quả

2 4 3 2 1 x A x

   1,0

b) (2,0điểm)

Tìm giá trịnguyên của x đểA có giá trịnguyên - Tìm ĐKXĐ:

1 ; 2 2 x x   0,25

2 4 3 4 2 1 2 1 2 1 x A x x x       1,0

-Lập luận để A có giá trị nguyên xZ và 2x + 1 là ước lẻ của 4 0,5

- Tìm được x = 0; -1 0,25 Bài 2 (3,0điểm)

a) (1,5 điểm)

Vì n chẵn nên n = 2k (k  Z) Do đó n3 + 2012n = (2k)3 + 2012.2k

= 8k3 + 4024k

0,5

= 8k3 - 8k + 4032k 0,5 = 8k(k2 - 1) + 4032k

= 8k(k + 1)(k - 1) + 4032k 0,25

và lập luận suy ra điều phải chứng minh 0,25 b) (1,5 điểm) Nhận xét : B = 1 2 x x

  với 2 x  mà 2 x  > 0 với mọi 2 x  nên:

Nếu x + 1 < 0 x < -1 thì B < 0 Nếu x + 1 = 0 x = -1 thì B = 0 Nếu x + 1 > 0 x > -1 thì B > 0 Suy ra B đạt giá trị lớn nhất nếu x > -1

0,5

Do x là số nguyên, 2 x  , x > -1 Nên ta xét các trường hợp sau

x = 0 thì B = 1

2 (1)

x = 1 thì B = 2 (2)

x > 2 thì B = 1 2 x x

 

0,5

Với x > 2 ta có B = 1 2 x x

  = 3 1 2 x  

B lớn nhất khi 3

2 x  lớn nhất

mà 3 > 0 và x > 2 x - 2 > 0

0,25

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO

GIAO THỦY

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016-2017

Môn: TOÁN - Lớp 8 (Thời gian làm bài 120 phút)

nên: 3

2 x  lớn nhất khi x - 2 nhỏ nhất và x - 2 nguyên  x - 2 = 1 

x = 3 B = 4 (3) Từ(1), (2), (3) suy ra: B lớn nhất bằng 4 khi x = 3 0,25 Bài 3 (3,0 điểm)

ĐKXĐ: x  0 0,25

Đặt

2 1 x y x

  (y 0) 2

1 1 x x y    Khi đó ta có phương trình

1 5 2 y y   (2)

0,5

Giải (2) tìm được y = 2 (tmđk); 1 2 y  (tmđk) 0,5

Với y = 2

2 1 2 x

x

   . Tìm được x = 1 (tmđk) 0,75

Với 1 2 y 

2 1 1 2 x

x

   . Lập luận chứng tỏ phương trình này vô nghiệm 0,75

Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm x = 1 0,25 Bài 4 (3,0 điểm)

a) (1,5 điểm)

2 2 2 2 2 2 17 17 5 17 2 ( ) 4 17 0 4 4 x y xy x y x x x             0,5

Do x nguyên nên   2 0;1;4 x  0,25 + x2 = 0(x - y)2 = 17 (loại) + x2 = 1(x - y)2 = 13 (loại) + x2 = 4(x - y)2 = 1

0,25

Với x = 2 thì (2 - y)2 = 1 tìm được y = 1 ; y = 3 Với x = - 2 thì (- 2 - y)2 = 1 tìm được y = -1 ; y = -3

0,25

Vậy các cặp số nguyên (x; y) là (2;1); (2;3); (-2;-1); (-2;-3) 0,25

b) (1,5 điểm)

Chứng tỏ được 2 1 3 x x    với mọi x

Dấu bằng xảy ra -2 x 1 0,25

Chứng tỏ được

2 3 ( 2) 3 y   với mọi y 0,25

Do đó

2 2 1 3 ( 2) 3 x x y       

2 3 ( 2) 3 y    tìm được y = - 2 2 1 3 x x    khi -2  x  1 mà x  Z  x = -2; -1; 0; 1

0,75

Vậy các cặp số nguyên (x; y) là: (-2; -2); (-1; -2); (0; -2); (1; -2) 0,25

Bài 5 (6,0 điểm) Hình vẽ