Đề thi HSG huyện Toán 8 năm 2015 - 2016 phòng GDĐT Hoài Nhơn - Bình Định

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN HOÀI NHƠN

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN

Môn: Toán 8 Thời gian làm bài: 150 phút

Đề gồm 01 trang Khóa thi: Ngày 23/04/2016 Bài 1 (4.0 điểm):

a) Chứng minh rằng: Chữ số tận cùng của hai số tự nhiên n và n5 là như nhau. b) Tìm tất cả các số nguyên x thỏa mãn: x2 + x – p = 0; với p là số nguyên tố. Bài 2 (3.0 điểm):

a) Cho ba số a, b, c khác 0 và thỏa mãn: a + b + c = 0. Tính giá trị của biểu thức:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 P a b c b c a c a b         

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

2 4 3 2

2 2 2016 2 3 4 2015 ; x x A x x x x B x        

Bài 3 (3.0 điểm):

Cho biểu thức: 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 3 2 5 6 7 12 9 20 P x x x x x x x x x x              

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức P có giá trị. b) Rút gọn biểu thức P. c) Tính giá trị của P khi x thỏa mãn: x3 – x2 + 2 = 0 Bài 4 (4.0 điểm): a) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

ab + bc + ca  a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) b) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: 10x2 + 50y2 + 42xy + 14x – 6y + 57 < 0 Bài 5 (4.0 điểm):

Cho M là một điểm bất kỳ nằm trong hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. a) Chứng minh rằng: MA2 + MB2 + MC2 + MD2  2. b) Xét điểm M nằm trên đường chéo AC, kẽ MN  AB tại N, gọi O là trung điểm của AM. Chứng minh rằng: CN2 = 2.OB2. Bài 6 (2.0 điểm):

Cho tam giác ABC có ˆ ˆ A B  . Trên cạnh BC lấy điểm H sao cho ˆ ˆ HAC ABC  . Đường phân giác của góc ˆ BAH cắt BH ở E. Từ trung điểm M của AB kẽ ME cắt đường thẳng AH tại F. Chứng minh rằng: CF | | AE.

Họ tên thí sinh:……………………………………………..SBD:…………

Đề chính thức

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 8 KỲ THI HSG CẤP HUYỆN. NĂM HỌC 2015 - 2016

Bài Nội dung Điểm

1 (4đ)

a (2đ)

+) Với n = 0; n = 1, rõ ràng n và n5 có chữ số tận cùng giống nhau. 0,25đ +) Với n  2. Ta xét hiệu:       5 4 2 1 1 1 1 P n n n n n n n n        

           2 1 1 4 5 5 1 1 2 1 1 2 n n n n n n n n n n n n             

0,75đ

Ta có: Trong k số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng tồn tại số chia hết cho k Do đó: ( 1) ( 1) 2 5 ( 1)( 1) 5.2 10 n n n n n n              2 1 1 2 2.5 10 n n n n n      

0,5đ

Suy ra: 5 10 P n n     5 n n  có chữ số tận cùng là 0  Chữ số tận cùng của hai số n và n5 là như nhau (đpcm) 0,5đ

b (2đ)

Ta có: x2 + x – p = 0  p = x2 + x  p = x(x + 1) 0,5đ Với x Z  , ta có x và (x + 1) là hai số nguyên liên tiếp ( 1) 2 p x x     0,5đ Mặt khác p là số nguyên tố  p = 2 0,5đ  x(x + 1) = 2  (x – 1)(x + 2) = 0  x = 1, hoặc x = – 2 0,5đ

2 (3đ)

a (1đ)

Từ     2 2 2 2 2 0 2 a b c a b c a b c a b c ab             

Tương tự: 2 2 2 2 b c a bc    ; 2 2 2 2 c a b ca   

0,5đ

Do đó: 1 1 1 0 2 2 2 2 c a b P ab bc ca abc           0,5đ

b (2đ)

+) Ta có: 4 2 3 2 2 2 4 2 2013 A x x x x x       

     2 2 2 2 2 2 2 2 2013 x x x x x       

     

2 2 2 2 2 2 1 2013 2 1 2013 x x x x x         

0,5đ

Với mọi x, ta có:       2 2 2 2 2 1 0 2 1 2013 2013 x x A x x         

Đẳng thức A = 2013 xảy ra khi và chỉ khi: x – 1 = 0  x = 1

0,25đ

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là: minA = 2013  x = 1 0,25đ

+) Ta có:

2 2

2 2016 2 .2016 2016 2016 x x B x   

    2 2 2

2 2 2016 2015 2016 2015 2016 2016 2016

x x x

x x

     

0,5đ

Với mọi x  0, ta có:

 

2

2 2016 0 2016

x

x

   

2

2 2016 2015 2015 2016 2016 2016

x B x

    

Đẳng thức 2015 2016 B  xảy ra khi và chỉ khi: x – 2016 = 0  x = 2016

0,25đ

Vậy giá trị nhỏ nhất của B là: 2015 min 2016 B   x = 2016 0,25đ

3 (3đ)

a (0,5đ) a) Tìm điều kiện đúng: 0; 1; 2; 3; 4; 5 x x x x x x       0,5đ

b (1,5đ)

b) Rút gọn đúng:

1 1 1 1 1 ( 1) ( 1)( 2) ( 2)( 3) ( 3)( 4) ( 4)( 5) P x x x x x x x x x x              

0,5đ