Đề giao lưu HSG huyện Toán 8 năm 2015 - 2016 phòng GDĐT Cẩm Giàng - Hải Dương

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO

CẨM GIÀNG

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

NĂM HỌC: 2015 - 2016

MÔN: TOÁN LỚP 8 Thời gian làm bài: 150 phút

Đề gồm 01 trang

Câu 1. (2,0 điểm)

a) Rút gọn biểu thức:

3 2

3 2 4 4 7 14 8 a a a P a a a       

b) Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho 2 x  dư 10, f(x) chia cho 2 x  dư 26, f(x) chia cho 2 4 x  được thương là 5x  và còn dư.

Câu 2. (2,0 điểm) Giải phương trình:

a) 43 46 49 52 57 54 51 48 x x x x       

b)     2 2 3 2 2 5 3 x x x    

Câu 3. (2,0 điểm)

a) Chứng minh rằng Q = n3 + (n + 1)3 +( n + 2)3  9 với mọi n N* b) Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

3 a b c A b c a a c b a b c          

Câu 4. (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC). Các đường cao AE, BF, CG cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC, qua H vẽ đường thẳng a vuông góc với HM, a cắt AB, AC lần lượt tại I và K.

a) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác EFC. b) Qua C kẻ đường thẳng b song song với đường thẳng IK, b cắt AH, AB theo thứ tự tại N và D. Chứng minh NC = ND và HI = HK.

c) Chứng minh: 6 AH BH CH HE HF HG   

Câu 5. (1,0 điểm)

Cho , , a b c là ba số dương thoả mãn 1 abc . Chứng minh rằng:

3 3 3 1 1 1 3 ( ) ( ) ( ) 2 a b c b c a c a b       .

---------------Hết--------------- Họ và tên học sinh:...................................................... Số báo danh:....................................

Họ và tên Giám thị:...................................................... Chữ ký:............................................

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO

CẨM GIÀNG

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP

HUYỆN NĂM HỌC: 2015 - 2016

MÔN: TOÁN LỚP 8 Hướng dẫn chấm gồm 04 trang

Câu Đáp án Điểm

Câu 1 (2 điểm)

a)

3 2

3 2 4 4 7 14 8 a a a P a a a       

       

2 2

3

1 4 1

8 7 2

a a a P

a a a

   

  

  

  

       

2

2 1 4 1 1 4

2 1 4 2 5 4

a a a a a P a a a a a a

            

1 2 a P a

  

Vậy 1 2 a P a

   với a 1; a 2; a 4.

0,25

0,5

0,25

b) Giả sử f(x) chia cho 2 4 x  được thương là 5x  và còn dư là

ax b . Khi đó: 2 f( ) ( 4).( 5 ) ax + b x x x    

Theo đề bài, ta có:

(2) 26 2 26 4

( 2) 10 2 10 18

f a b a

f a b b

                    

Do đó: 2 f( ) ( 4).( 5 ) 4x +18 x x x    

Vậy đa thức f(x) cần tìm là: 2 f( ) ( 4).( 5 ) 4x +18 x x x    

0,25

0,5

0,25

Câu 2 (2 điểm)

a) 43 46 49 52 57 54 51 48 x x x x       

 57

43  x + 1 + 54

46  x + 1 = 51

49  x + 1 + 48

52  x +1

 57

100  x + 54

100  x - 51

100  x - 48

100  x = 0

 (x + 100)( 48

1 51

1 54

1 57

1    ) = 0

Do ( 48

1 51

1 54

1 57

1    )  0 nên x + 100  x = -100

Vậy tập nghiệm của phương trình là S =   100 

0,25

0,25

0,25

0,25

b)     2 2 3 2 2 5 3 x x x    

   

2 2x 3 2x 5 x 2 3      (4x2 + 16x + 15)(x2 + 4x + 4) = 3 (2) Đặt y = x2 + 4x + 4  4y = 4(x2 + 4x + 4) = 4x2 + 16x + 16

 4x2 + 16x + 15= 4y - 1 Khi đó (2)  y(4y - 1) - 3 = 0  4y2 - y - 3 = 0  (y - 1)(4y + 3) = 0 +/ y - 1 = 0  (x + 2)2 - 1 = 0  (x + 2)2 = 1  x + 2 = 1 hoặc x + 2 = -1  x = -1 hoặc x = -3 +/ 4y + 3 = 0  4(x+2)2 + 3 = 0 Vì 4(x+2)2 + 3  3 nên phương trình vô nghiệm. Vậy   1; 3 S  là tập nghiệm của phương trình đã cho.

0,25

0,25

0,25

0,25

Câu 3 (2 điểm)

a) Q = n3 + (n + 1)3 +( n + 2)3 = n3 + (n3 + 3n2 + 3n + 1)+(n3 + 6n2 + 12n + 8) =3n3 + 9n2 + 15n + 9 = 3(n3 + 3n2 + 5n + 3) Đặt C = n3 + 3n2 + 5n + 3 = n3 + n2 + 2n2 + 2n + 3n + 3 = n2(n + 1) +2n(n + 1) +3(n + 1) = n(n + 1)(n + 2) + 3(n + 1) Ta thấy n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 3 (vì tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3), mà 3(n + 1) chia hết cho 3.  C chia hết cho 3  Q = 3C chia hết cho 9.

0,25

0,25

0,25

0,25

b) Đặt b + c  a = x > 0; c + a  b = y > 0; a + b  c = z > 0

Từ đó suy ra a = 2 ; 2 ; 2

y x c z x b z y      ;

Thay vào biểu thức A ta được:

A = 

 

            ) …