Đề thi HSG Toán 8 năm 2014 - 2015 phòng GDĐT Tam Đảo - Vĩnh Phúc

PHÒNG GD&ĐT TAM ĐẢO

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2014-2015

MÔN: TOÁN 8 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1( 2,0 điểm):

Cho biểu thức: M=

3 6 2

6 5 2 9 6 3 6 2 4 6 24 3 3 1 . : : 2 9 3 6 9 x x x

x x x x x x x

                         

a) Rút gọn M.

b) Tìm các giá trị nguyên của x để M đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.

Câu 2( 2,0 điểm):

Giải các phương trình và bất phương trình sau:

a) 1 2 3 1 2015 2014 1006 2013 2012 1007 x x x x       

b)

2

2 3 4 1 2 5 1 1 1 y y y y y

      

Câu 3( 2,5 điểm):

a) Cho ba số , , x y z khác không thỏa mãn:

2015

1 1 1 1 2015

x y z

x y z

       

Chứng minh rằng trong ba số , , x y z tồn tại hai số đối nhau.

b) Cho ba số dương , , a b c. Chứng minh rằng:

2 2 2

2 a b c a b c b c c a a b

       

Câu 4( 2,5 điểm): Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B, C). Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM.

a) Chứng minh: ∆OEM vuông cân. b) Chứng minh: ME // BN. c) Từ C kẻ CH  BN ( H  BN). Chứng minh ba điểm O, M, H thẳng hàng.

Câu 5( 1 điểm):

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2 5 2 4 2 4 2015 x y xy x y      .

----------Hết----------

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2014 - 2015

Môn: Toán - Lớp 8 Câu Ý Nội dung Điểm

1 (2,0 điểm)

a ĐKXĐ: 3 3 0; 3; 2. x x x   

3 6 2

6 5 2 9 6 3

3 2 3 3

3 2 2 2 3 3 6 3

3 2

3 2 3 3 3 2 3

6 2 4 6 24 3 3 1 . : : 2 9 3 6 9

6 ( ) 4 2( 3) 4 3( 2) 1 . : : 2 ( ) 3 ( 3) ( 6 9)

6 ( ) 4 2 4 2 1 . : . 3 ( 3) ( 3) 3(

x x x M x x x x x x x

x x x

x x x x x x x

x x x x x x x x

                          

                                

               

3 2 3 2 3

3 2 3 3 3

2)

5 4 .( 3) 5 . . 3 ( 3) 4( 2) 2 x x x x x x x x x

                 

0,25

0,25

0,25

0,25

b Ta có:

3

3 3 5 7 1 2 2 x M x x     

M có giá trị lớn nhất khi 3 2 x  có giá trị nhỏ nhất mà x Z  nên

3 2 x  phải có giá trị nguyên dương nhỏ nhất  3 2 x  =6 2 x  

Vậy 2 x  thì M có giá trị lớn nhất và bằng 13

6

0,25

0, 5

0,25

2 (2,0 điểm)

a 1 2 3 1 2015 2014 1006 2013 2012 1007 1 2 2 2 3 4 4 1 2015 2014 2014 1006 2013 2012 2012 1007 1 2 1 4 3 4 4 1 2015 2014 1007 2012 2013 2012 2012 1007 1 2 3 4 1 1 1 1 2015 2014 2013 2012 2016 20

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x

      

           

           

        

  2016 2016 2016 15 2014 2013 2012 1 1 1 1 ( 2016)( ) 0 2016 2015 2014 2013 2012

x x x

x x

     

       

0,25

0,25

0,25

0,25

b ĐK: y 1 

2 2 2

2 3 2 3

2

3 3 2

2

4 1 2 5 4(1 ) 1 2 5 0 1 1 1 (1 )(1 ) 1

3 3 3 ( 1) 3 ( 1) 0 0 0 1 1 (1 )(1 ) 3 0 3 0 0 1

y y y y y y y y y y y y y

y y y y y y y y y y y y y y y y

                 

                      

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là 0

1

y

y

    

0,25

0,25

0,25

0,25