Đề thi học kỳ 1 Toán 9 năm 2022 - 2023 trường THPT chuyên Hà Nội - Amsterdam

TRƯỜNG THPT CHUYÊN

HÀ NỘI – AMSTERDAM

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ I

Năm học 2022 – 2023 TỔ TOÁN – TIN HỌC Môn: TOÁN LỚP 9 Thời gian làm bài: 90 phút Bài 1 (2,0 điểm).

Cho biểu thức 4

x A x   và

2 3 2 x x x B

x x x      

, với 0; 4 x x  .

a) Tìm các giá trị của x để 3 5 A   .

b) Rút gọn biểu thức : P B A  . c) Tìm số thực dương x sao cho P đạt giá trị lớn nhất. Bài 2 (3,5 điểm).

1) Một người muốn làm biển quảng cáo cho cửa hàng. Biết rằng từ điểm P cách cửa hàng 7m thì nhìn thấy mái nhà dưới một góc 310 so với phương ngang (như hình vẽ). Cũng từ điểm P sẽ nhìn thấy điểm trên cùng của bảng quảng cáo theo một góc 420 so với phương ngang. Tính chiều cao của biển quảng cáo theo đơn vị m. (lấy sấp xỉ đến 1 chữ số sau dấu phẩy). 2) Trên hệ tọa độ xOy, cho đường thẳng   m d có phương trình 2 1 y mx m    (với m là

tham số). a) Tìm m để   m d song song với đường thẳng có phương trình 3 y x m  .

b) Tìm m để   m d cắt 2 trục Ox và Oy lần lượt tại A và B phân biệt thỏa mãn

 5 sin 5 BAO  , với O là gốc tọa độ.

Bài 3 (3,5 điểm).

Cho hai đường tròn (O) và (O’) thay đổi nhưng luôn cắt nhau tại 2 điểm A và B cố định. Gọi M là trung điểm OO’ và điểm T đối xứng A qua M. Vẽ đường tròn tâm T bán kính TA cắt (O) và (O’) tại các giao điểm thứ hai lần lượt là E và F. a) Chứng minh TB // OO’. b) Chứng minh AE là tiếp tuyến của (O). c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF luôn đi qua 1 điểm cố định khi (O) và (O’) thay đổi. d) Trên (O) lấy điểm P bất kỳ sao cho PA cắt (O’) tại giao điểm thứ hai là Q. Chứng minh TP = TQ. Bài 4 (1,0 điểm).

1) Giải phương trình 2 1 1 1 4 x x x x    . 2) Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện ( 2 )( 2 ) z x y y x    .

Chứng minh:

3 3

. 9 11

2 9 x xy xz xy yz

y z      

--------------- HẾT ---------------

TRƯỜNG THPT CHUYÊN

HÀ NỘI – AMSTERDAM

HDC KIỂM TRA HỌC KỲ I

Năm học 2022 – 2023 TỔ TOÁN – TIN HỌC Môn: TOÁN LỚP 9 Bài 1 (2,0 điểm).

Cho biểu thức 4

x A x   và

2 3 2 x x x B

x x x      

, với 0; 4 x x  .

a) Tìm các giá trị của x để 3 5 A   .

b) Rút gọn biểu thức : P B A  . c) Tìm số thực dương x sao cho P đạt giá trị lớn nhất. HDC:

a) 3 5 3 12 3 5 12 0 5 A x x x x          (0,25đ)

( 3)(3 4) 0 3 9( ) x x x x tmDK         Kết luận x = 9. (0,25đ) b)

( 1) 4 . ( 1)( 2)

x x x x x P

x x x

    

 

(0,25đ)

( 2 1) 4 . ( 1)( 2)

x x x x P

x x x

   

  (0,25đ)

2 ( 1) 4 ( 1)(2 )(2 ) . ( 1)( 2) 2

x x x x x x P

x x x x

          (0,25đ)

( 1)(2 ) 2 P x x x x      (0,25đ)

c)

2 5 1 5 2 4 2 4 P x x x             (0,25đ)

KL: P lớn nhất là 5/4, dấu bằng xảy ra khi x = ¼. (0,25đ) Bài 2 (3,5 điểm).

1) Một người muốn làm biển quảng cáo cho cửa hàng. Biết rằng từ điểm P cách cửa hàng 7m thì người đó nhìn thấy mái nhà dưới một góc 310 so với phương ngang (như hình vẽ). Cũng từ điểm P người đó sẽ nhìn thấy điểm trên cùng của bảng quảng cáo theo một góc 420 so với phương ngang. Tính chiều cao của biển quảng cáo theo đơn vị m. (lấy sấp xỉ đến 1 chữ số sau dấu phẩy). HDC: Vẽ hình mô tả và gọi tên các điểm. (0, 25đ) Tính chiều cao biển quảng cáo 7.tg42 – 7.tg31 = 2,1 (m) (0, 5đ) KL chiều cao tâm biển quảng cáo sấp xỉ là 2,1m. (0,25đ)