Đề học sinh giỏi cấp tỉnh Toán THCS năm 2023 - 2024 sở GDĐT Quảng Nam

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH QUẢNG NAM

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THCS

NĂM HỌC 2023 – 2024 Môn thi: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Khóa thi ngày: 12/4/2024

Câu 1. (4,5 điểm)

a) Cho biểu thức 2 8 3 2 1 2 A

6 2 3 x x x x x x x x x           

, với 4. x 

Rút gọn biểu thức A và tìm tất cả các số nguyên x thỏa mãn A . 12 x x  

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên   ;x y thỏa mãn

2 3 2 2 4 0. 2 x x xy x y      

Câu 2. (4,5 điểm)

a) Giải phương trình 3 4 3 1 1 x x x

  

.

b) Giải hệ phương trình   

2 2 2 1 2 1 2 0

4 4 4 2 6 0

x y x

xy y xy x y

      

      

.

Câu 3. (3,0 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC (ABAC) có ba đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. Đường tròn đường kính AC cắt đoạn thẳng BH tại M. Trên đoạn thẳng HC lấy điểm N sao cho

AM AN.  a) Chứng minh EB.EH ED.EF  . b) Chứng minh N thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.

Câu 4. (4,0 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC (ABAC) có hai đường cao AE, BD cắt nhau tại H. Đường trung trực của đoạn thẳng DH cắt AE tại M, cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tại P và Q (P nằm giữa M và Q).

a) Chứng minh MD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. b) Chứng minh    APM AQM CBD.   c) Đường thẳng AQ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tại F (F khác Q). Chứng minh   APB FPB. 

Câu 5. (4,0 điểm)

a) Cho p là số nguyên tố. Tìm tất cả các số nguyên dương b sao cho nghiệm của phương trình bậc hai 2 0 x bx bp    là số nguyên.

b) Cho ba số thực dương , , x y z thỏa mãn 2 2 2 3 x y z   . Tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức

2 2 2 2 2 2 1 1 1 P xy x y yz y z zx z x z x y                           

.

---------- HẾT ----------

- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. - Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.

- Họ và tên thí sinh:......................................................; Số báo danh...........................

ĐỀ CHÍNH THỨC

Trang 1/8

Câu Đáp án Điểm

Câu 1 (4,5 đ)

a) Cho biểu thức 2 8 3 2 1 2 6 2 3 A x x x x x x x x x           

, với 4. x  Rút gọn

biểu thức A và tìm tất cả các số nguyên x thỏa mãn . 12 A x x  

2,5

Ta có:

  

2 8 3 2 8 3 6 2 3

x x x x x x x x

        

và  

2 1 2 1 1 2 2 2

x x x x x x x

        

  

2 8 3 1 2 A

2 3 2 3 x x x x x x x x          

0,5

       

2 8 3 1 3 2 2

2 3

x x x x x x

x x

      

 

0,25

  

2 8 3 3 3 2 4 2 3 x x x x x x x x x       

 

0,25

  

2 2 3 x x x x  

 

    

2

3 2 3

x x x x x x

  

  

0,5

1 1 A 12 12 12 3 3 x x x x x x x x          

0,25

   12 1 3 x x    

2 15 0 x x    

0,25

   3 5 0 x x    

3 0 9 x x    

Kết hợp với 4 x  suy ra các số nguyên x thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 5;6;7;8;9.

0,5

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH QUẢNG NAM

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THCS

NĂM HỌC 2023 - 2024

(Hướng dẫn chấm có 08 trang)

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN

HDC CHÍNH THỨC