Đề Olympic chuyên Toán THCS lần 1 năm 2023 - 2024 trường chuyên Hạ Long Quảng Ninh

1

TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

CHUYÊN HẠ LONG

(Đề thi có 1 trang)

ĐỀ THI OLYMPIC MÔN CHUYÊN DÀNH CHO HỌC SINH THCS LẦN THỨ NHẤT

Ngày thi: 31/3/2024

Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không tính thời gian phát đề

Họ, tên thí sinh:…………………………. Số báo danh:…………………………….. Câu 1 (4,0 điểm)

a) Cho , , a b c là các số thực đôi một khác nhau, thỏa mãn 2 2 ( ) ( ) 2024 a b c b c a + = + = . Tính 2( ) c a b + .

b) Giải phương trình 2 2 1 8 x x x

+ −= + .

Câu 2 (6,0 điểm)

a) Cho đa thức ( ) P x bậc 3, có các hệ số là các số nguyên và ( ) P x chia hết cho 7 với mọi số nguyên .x Chứng minh các hệ số của đa thức ( ) P x đều chia hết cho 7. b) Tìm các số tự nhiên ,x y để 4 4 4 x y + là số nguyên tố.

c) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương m số 4(8 7) m+ không thể viết được dưới dạng tổng của ba số chính phương (số chính phương là bình phương của một số nguyên).

Câu 3 (7,0 điểm)

Cho tam giác ABC không cân có đường tròn nội tiếp ( )I tiếp xúc với các cạnh , , BC CA AB lần lượt tại , , . D E F Điểm K là hình chiếu vuông góc của D trên đường thẳng , EF đường thẳng qua K vuông góc với IK cắt các đường thẳng , CA BA lần lượt tại , . V U

a) Chứng minh rằng tứ giác AVIU nội tiếp và UF VE = ;

b) Chứng minh rằng KF DB KE DC = ;

c) Gọi ' E là tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp góc B của tam giác ABC với AC ; ' F là tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp góc C của tam giác ABC với AB . Chứng minh các điểm ', ', , E F U V cùng thuộc một đường tròn.

Câu 4 (2,0 điểm)

Cho , , a b c là các số thực dương thỏa mãn 3 a b c + + = . Chứng minh

2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 a a b b c c + +  + + + .

Câu 5 (1,0 điểm)

Cho một mạng lưới các ô vuông kích thước5 5 , trong đó có khuyết một hình vuông kích thước 2 2  như hình vẽ. Một người đứng ở điểm A cần di chuyển đến điểm B, biết mỗi bước đi chỉ có thể đi lên trên hoặc sang phải theo đỉnh mỗi ô vuông kích thước1 1 . Hỏi có bao nhiêu cách để người đó có thể di chuyển từ A đến B.

--------------- HẾT--------------- - Học sinh không được sử dụng tài liệu, thiết bị điện tử khi làm bài. - Giáo viên coi kiểm tra không giải thích thêm. Giáo viên coi (ký & ghi họ tên):……………………………………………..

A

B

2

TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

CHUYÊN HẠ LONG

(Đáp án có 3 trang)

HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC MÔN CHUYÊN DÀNH CHO HỌC SINH THCS

LẦN THỨ NHẤT

Môn: TOÁN

Câu Sơ lược lời giải Điểm 1a (2 điểm)

Từ giả thiết suy ra 2 2 ( ) ( ) 0 a b c b c a + − + = nên ( )( ) 0 a b ab bc ca − + + = . 0,5

Từ đó 0 ab bc ca + + = . 0,5 Chỉ ra được 2 2 ( ) ( ) ( )( ) 0 c a b b c a c b ab bc ca + − + = − + + = . 0,5

Do đó 2( ) 2024 c a b + = . 0,5

1b (2 điểm)

Điều kiện xác định: 1 x , biến đổi phương trình thành 1 1 2 2. . 8 x x x x x

− + = + .

0,5

Áp đụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta đánh giá

2 1 1 1 1 2 2. . (8 ). 8 x x x x x x x x x

  − −   +  + + = +          

.

0,5

Từ đó suy ra phương trình tương đương với 1 2 2

x x = − .

0,5

Giải phương trình được 8 7 x = . 0,5

2a (2 điểm)

Gọi đa thức là 3 2 ( ) P x ax bx cx d = + + + . Cho 0 x = , ta được 7 d . 0,5

Cho 1 x = , ta được 7 a b c + + và 7 a b c −+ − suy ra 7 b và 7 a c + . 0,5 Cho 2 x = , ta được 8 2 7 a c + . 0,5 Kết hợp với 7 a c + , suy ra 7 a và 7 c . 0,5 2b (2 điểm)

Giả sử tồn tại các số tự nhiên ,x y để 4 4 4 x y + là số nguyên tố. Biến đổi 4 4 2 2 2 2 4 ( 2 2 )( 2 2 ) x y x y xy x y xy + = + − + + .

0,5

Chỉ ra 2 2 2 2 1 x y xy + − = , 0,5

nên 2 2 ( ) 1 x y y − + = . 0,5

Từ đó suy ra 1 x y = = (có thử lại) thỏa mãn đề bài. 0,5 2c (2 điểm)

Chứng minh cả 3 số , , x y z , đều chẵn. Chỉ ra trong 3 số phải có ít nhất một số là chẵn, giả sử là x .

0,5

Suy ra ,y z cùng tính chẵn lẻ và 2 2 4 y z + , suy ra ,y z cùng chẵn. 0,5

Đặt 1 1 1 2 ; 2 , 2 x x y y z z = = = suy ra 2 2 2 1 1 1 8 7 x y z m + + = + . 0,5

Chỉ ra 2 2 2 1 1 1 x y z + + chia 8 chỉ cho các số dư là 0,1,2,3,4,5,6 nên mâu thuẫn. Suy ra đpcm.

0,5

3 (7 điểm)