Đề học sinh giỏi Toán 9 năm 2023 - 2024 phòng GDĐT thành phố Bắc Ninh

UBND THÀNH PHỐ BẮC NINH

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ

NĂM HỌC 2023 - 2024

Môn: Toán lớp 9 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (5,0 điểm)

1. Cho hai biểu thức 1 2 1 : 1 1 1 1

x x x P x x x x x x x x x x

   +    = − +    + − − + − + + +   

với 0; 1 x x ≥ ≠ .

a. Rút gọn biểu thức P .

b. Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để 2 P x > − .

2. Cho các số dương , , x y z thỏa mãn các điều kiện 2 x y z + + = và 2 2 2 2 x y z + + = .

Tính giá trị biểu thức: ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2

2 2 2 1 1 1 1 1 1

1 1 1

y z z x x y P x y z x y z

+ + + + + + = + + + + +

.

Câu 2 (4,0 điểm):

1. Tìm tất cả các cặp số nguyên ( ) ;x y thoả mãn: 2 2 2 4 4 2 x y x xy + + = + .

2. Cho ; ; x y z là các số nguyên và ( ) ( ) ( )

5 5 5 2023 2 2024 3 2025 2 3 2024 P x y z S x y z

 = + + − + +  = + + + 

Chứng minh rằng P chia hết cho 30 khi và chỉ khi S chia hết cho30 . Câu 3 (3,0 điểm):

1. Cho đường thẳng ( ) : 2 d y mx m = − + (m là tham số) và parabol

2 ( ) : . 2 x P y = Đường thẳng ( ) d cắt ( ) P tại

hai điểm phân biệt 1 1 ( ; ) x y và 2 2 ( ; ) x y . Chứng minh rằng 1 2 1 2 (2 2 1)( ). y y x x + ≥ − +

2. Cho ba số thực dương , , x y z thỏa mãn 3 x y z + + = . Chứng minh rằng:

( )

3 3 3

3 3 3 1 2 9 27 8 8 8 x y z xy yz zx y z x + + ≥ + + + + + + .

Câu 4 (6,0 điểm): Cho tam giác nhọn ABC ( ) AB AC < nội tiếp đường tròn ( ) O . Các đường cao

, , AD BE CF cắt nhau tại H . Tia AH cắt ( ) O tại K (K khác A ), tia KO cắt ( ) O tại M (M khác K ) và tia

MH cắt ( ) O tại P (P khác M ).

a) Chứng minh // OD MH và tứ giác AODP nội tiếp một đường tròn.

b) Gọi Q là giao điểm của PA và EF . Chứng minh . . AQ AP AH AD = và DQ EF ⊥ .

c) Tia PE và tia PF cắt đường tròn ( ) O lần lượt tại L và N ( , L N khác P ). Chứng minh LC NB = .

Câu 5 (2,0 điểm): 1. Giải phương trình

2 2 2 2 8 2 6 2 1 2 1 3 3 4 x x x x x x x x + + + − + + = + +

2. Cho n là số lẻ. Chứng minh rằng từ ( )

2 1 1 n − + số nguyên bất kì có thể chọn ra được n số sao cho tổng

của chúng chia hết cho n .

====== Hết ====== Họ và tên thí sinh :..................................................... Số báo danh:……....................

ĐỀ CHÍNH THỨC

UBND THÀNH PHỐ BẮC NINH

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP THÀNH PHỐ

NĂM HỌC 2023 - 2024

Môn: Toán lớp 9

Câu Đáp án Điểm

1.1

Cho hai biểu thức

1 2 1 : 1 1 1 1

x x x P x x x x x x x x x x

   +    = − +    + − − + − + + +   

với 0; 1 x x ≥ ≠ .

a. Rút gọn biểu thức P .

b. Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để 2 P x > −

3,0

ĐKXĐ: 0; 1 x x ≥ ≠

( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2

1 2 1 : 1 1 1 1

1 1 2 1 : 1 1 1 1 1

1 1 . 1 1 1

1

1

x x x P x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x

x x

x x x

x

x

   +    = − +    + − − + − + + +      + + −   = +   + − + + +    

− + = + − +

− = +

Vậy với 0; 1 x x ≥ ≠ thì 1

1

x P x

− = +

.

2,0

( )

2

1 2 2 1 2 1

2 1 0 1 2 2 1 2

1 2 1 2

x P x x x x x x

x x x x

x

− > − ⇒ > − ⇔ − > − − +

⇔ − − < ⇔ − < ⇔− < − <

⇔ − < < +

Lại có 0 0; 1 x x x ≥ ∀ ≥ ≠

Nên 0 3 2 2 x ≤ < + Mà x là số nguyên thỏa mãn 0; 1 x x ≥ ≠

Vậy { } 0;2;3;4;5 x ∈ .

1,0

1.2

Cho các số dương , , x y z thỏa mãn các điều kiện 2 x y z + + = và 2 2 2 2 x y z + + = .

Tính giá trị biểu thức:

( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2

2 2 2 1 1 1 1 1 1

1 1 1

y z z x x y P x y z x y z

+ + + + + + = + + + + +

2,0