Đề học sinh giỏi cấp tỉnh Toán THCS năm 2023 - 2024 sở GDĐT Đắk Lắk

GV Vu Van Hoang To KHTN 1 HAU LOC * THANH HOA

1 HSG TOAN 9 NAM HOC 2023-2024 DAK LAK

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH ĐẮK LẮK

…ĐỀ CHÍNH THỨC…

(Đề thi có 01 trang)

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2023-2024

Môn: TOÁN - THCS Thời gian: 150 phút (không kể giao đề)

Ngày thi: 26/3/2024 Bài 1. (4,0 điểm)

1. Tính giá trị của biểu thức , 23 2 2    x x A với 3 2 5 3 3 2 5 3       x

2. Trong mặt phẳng , Oxy cho đường thẳng    ,1 2 :     m x m y d (m là tham số) và Parabol

 . 2 1 : 2x y P  Chứng minh rằng với mọi số thực m đường thẳng d luôn cắt Parabol  P tại hai

điểm phân biệt. Bài 2. (4,0 điểm)

1. Cho các số thực c b a , , thoả mãn .0 6 3 2    c b a Chứng minh rằng phương trình 0 2    c bx ax

luôn có hai nghiệm phân biệt . , 2 1 x x Tìm giá trị nhỏ nhất của . 2 1 x x 

2. Giải hệ phương trình:



 

      

     

0 2 3 1

0 2 3 4 3 2

2

2 2

y x x y

xy x y x y

Bài 3. (4,0 điểm)

1. Cho b a, là hai số nguyên dương thoả mãn   ab

a b a 4 2   là số tự nhiên. Chứng minh rằng nếu b

là số lẻ thì a là số chính phương. 2. Tìm tất cả các tam giác vuông có độ dài các cạnh là các số nguyên dương và số đo chu vi

bằng số đo diện tích. Bài 4. (4,0 điểm)

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn  O , Gọi P là điểm chính giữa của cung CD không chứa hai điểm . B và A Tia AP cắt đường thẳng BCtại E. Tia BP cắt đường thẳng AD tại F.

1. Gọi N M, lần lượt là giao điểm của PB PA, với . CD Chứng minh rằng bốn điểm N M B A , , , cùng nằm trên một đường tròn và đường thẳng OP vuông góc với . EF

2. Chứng minh PB PF PA PE AB EF .

2

    

3. Chứng minh . PF PB PB PF PE PA PA PE AF BE BE AF EF

AB AB EF       

Bài 5. (2,0 điểm)

Trong hình tròn bán kính , 46cm người ta đặt 2024 điểm phân biệt. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn có bán kính bằng , 1cm mà không chứa điểm nào trong 2024 điểm đã cho. Bài 6. (2,0 điểm)

Cho các số thực dương . , , z y x Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

z y x x z

z z y

y y x

x P

         1

2 2

3

2 2

3

2 2

3

------ HẾT ------ Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay

GV Vu Van Hoang To KHTN 2 HAU LOC * THANH HOA

2 HSG TOAN 9 NAM HOC 2023-2024 DAK LAK

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: ……………………………………………………. Số báo danh: …………………… Họ tên và chữ kí. Cán bộ coi thi thứ nhất: …………………………………………………………….....

Cán bộ coi thi thứ hai: ………………………………………………………………… HỌC TOÁN THẦY HOẰNG

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CẤP TỈNH

SỞ GD&ĐT ĐẮK LẮC

Năm học 2023 – 2024 (Đây không phải là đáp án chính thức của SGD Tỉnh Đắc Lắk) Bài 1. (4,0 điểm)

1. Tính giá trị của biểu thức , 23 2 2    x x A với 3 2 5 3 3 2 5 3       x

2. Trong mặt phẳng , Oxy cho đường thẳng    ,1 2 :     m x m y d (m là tham số) và Parabol

 . 2 1 : 2x y P  Chứng minh rằng với mọi số thực m đường thẳng d luôn cắt Parabol  P tại hai

điểm phân biệt.

BÀI Ý NỘI DUNG ĐÁP ÁN ĐIỂM 1. (4,0 điểm)

1. Đặt n m x n và m          3 2 5 3 3 2 5 3

Ta thấy

  

 

   

 

1 3 1 3

6

2

2 2

mn

n m

do đó   mn n m x 2 2 2 2   

0,5

  3 2 4 1 3 2 6 2      x 0,5

1 3 3 2 4     x 0,5

Thay vào ta có:     25 23 1 3 2 3 2 4       A 0,5

2. Gọi   y x; là giao điểm của  P và  d . Khi đó y x, thoả mãn

  

 

   



1 2 2 1 2

m x m y

x y

0,5

Xét phương trình hoành độ giao điểm của P và  d :   1 2 2 1 2     m x m x

     I m x m x 0 1 2 2 2 2      

Ta có:    1 2 2 '

2      m m

0,5

Do   . ,0 ' 5 1 '

2 m m         nên phương trình (I) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

0,5

Do đó  P luôn cắt  d tại hai điểm phân biệt với mọi m. 0,5