Đề học sinh giỏi Toán 9 năm 2023 - 2024 phòng GDĐT Phú Mỹ - BR VT

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THỊ XÃ PHÚ MỸ

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2023-2024

MÔN: TOÁN 9

Ngày thi: 06 tháng 03 năm 2024

Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1 (3,0 điểm):

a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì 10 9 28 n B n = − − chia hết cho 27 .

b) Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số, biết rằng số gồm hai chữ số đầu lớn hơn số gồm hai chữ số sau 01 (một) đơn vị.

Bài 2 (5,0 điểm):

a) Rút gọn biểu thức: ( )

2 5 3 3 1 2 8 2 : 4 2 2 a a a a P a a a a a

  − + + + = + + −   − − +  

(với 0; 4 a x ≥ ≠ ).

b) Giải phương trình: ( ) 3 3 1 2 4 1 x x x + − − = −.

c) Giải hệ phương trình:

( ) ( ) 3 3 5

1 1 35

x y xy

x y

+ + =  + + + = 

.

Bài 3 (4,0 điểm):

a) Cho hàm số bậc nhất 1 y mx m = + − (với m là tham số thực, 0 m ≠ và 1 m ≠) có đồ thị là đường thẳng ( ). d Tìm giá trị m để đường thẳng ( ) d tạo với 2 trục tọa độ , Ox Oy một tam giác có diện tích bằng 2.

b) Cho ,a b là các số dương thỏa mãn: . 1 a b = .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( )( ) 2 2 4 1 A a b a b a b = + + + + +

.

Bài 4 (5,0 điểm): Cho nửa đường tròn tâm ( ) O đường kính 2 AB R = và tiếp tuyến Ax ( A là tiếp điểm, Ax nằm ở nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn bờ là AB ). Trên đoạn OB lấy điểm H , đường thẳng vuông góc với AB tại H cắt nửa đường tròn tại C , tia BC cắt Ax tại D . Gọi M là trung điểm của AD .

a) Chứng minh MC là tiếp tuyến của nửa đường tròn. b) Xác định vị trí của điểm H trên đoạn OB để diện tích tam giác OHC lớn nhất.

Bài 5 (3,0 điểm): Cho đường tròn ( ) ; O R , dây AB cố định 2 AB R = và điểm P di động trên dây AB ( ) , P A B ≠ . Gọi ( ) 1 ; C R là đường tròn đi qua P và tiếp xúc với đường tròn ( ) ; O R tại A, ( ) 2 D;R

là đường tròn đi qua P và tiếp xúc với đường tròn ( ) ; O R tại B . Hai đường tròn ( ) 1 ; C R và ( ) 2 D;R

cắt nhau tại điểm thứ hai là M .

a) Trong trường hợp P không trùng với trung điểm dây AB . Chứng minh tứ giác OMCD là hình thang cân.

b) Chứng minh khi P di động trên dây AB thì M di động trên đường thẳng cố định và đường thẳng MP luôn đi qua một điểm cố định . N _____Hết_____

Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh ....................................................................... Số báo danh ................................ Chữ kí của giám thị 1 ................................................................