Đề học sinh giỏi tỉnh Toán 9 năm 2023 - 2024 sở GDĐT Nam Định

Trang 2 của 8

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

NAM ĐỊNH

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2023 - 2024 Môn: Toán – Lớp: 9 THCS Đáp án và hướng dẫn chấm gồm: 07 trang.

Câu Đáp án Điểm

1.a (2,0 điểm)

Cho 3 2 2 9 4 2. x     Tính giá trị của biểu thức

4 3 2

2 4 12 8 1. 4 13 x x x x T x x       

(2,0)

Ta có    

2 2 3 2 2 9 4 2 2 1 2 2 1 x        

3 2 2   . 2 3 2 x    .

0,5

Khi đó  

2 2 2 18 4 14 0 x x x       . 0,5

Do đó   2 2 2 4 3 2

2 2 4 14 2( 4 ) 1 4 12 8 1 4 13 4 13

x x x x x x x x x T x x x x

               .

0,5

Do đó 29 T  . 0,5 1.b (2,0 điểm)

Cho , , a b c là các số thực dương thoả mãn 5 a b c    và 3. a b c   

Chứng minh rằng

     

2 . 2 1 2 1 2 1

c b a c a b

b a a bc b ac c ab

     

      

(2,0)

Vì 5 a b c    và 3 a b c    nên 2 ab bc ca    . 0,5

Ta có      2 1 2 2 2 a bc a bc a bc ab bc ca a b a c              .

Suy ra

     2 1

c b c b

a bc a b a c

      

.

0,5

Chứng minh tương tự

     2 1

a c a c

b ac b c b a

      

.

     2 1

a b a b

c ab c a c b

      

.

0,5

Do đó

      2 1 2 1 2 1

c b a c a b

a bc b ac c ab

          

      

c b a c a b

a b a c b c b a c a c b

           

1 1 1 1 1 1 a c a b b a b c c a c b            

2 b a 



.

0,5

2.a (1,5 điểm)

Tìm tất cả các cặp số tự nhiên   ;x y thỏa mãn     3 9 1 2 9 1 2 4 1. x x y x y y      (1,5)

Ta có     3 9 1 2 9 1 2 4 1 x x y x y y     

    3 9 1 2 9 1 2 4 1 0 x x y x y y      

0,25

Trang 3 của 8

     

   

3 9 1 2 9 1 2 2 1 2 1 0

3 9 1 2 1 2 9 1 2 0

x x y x y y y

x x y y x y        

     

   9 1 2 3 1 2 0 x y x y    

3 1 2 0

9 1 2 0.

x y

x y       

0,25

Trường hợp 1: 9 1 2 0 9 1 2 x y x y     . Ta có       9 1 mod4 9 1 2 mod4 2 2 mod4 x x y      .

0,25

Với  

1 2 2 0 mod4 1 1 9 1 2 9 1 0 y x x y y y x           .

Ta có     ; 0;1 x y  .

0,25

Trường hợp 2: 3 1 2 0 3 1 2 x y x y     . Với 0 2 1 1 2 0 y y x     (mâu thuẫn). Với     1 2 1 3 2 2 1 ; 1;1 y y x y x y        .

Với     2 2 1 9 2 8 3 ; 2;3 y y x y x y          .

0,25

Với 3 x  Nếu x lẻ ta có   2 1 3 3 9 .3 3 mod 4 x k k     do đó   2 2 mod 4 y  loại vì

  2 2 0 mod4 y y    ( , 1) k k    .

Nếu x chẵn    2 2 ( , 2) 3 2 1 3 1 3 1 2 m y m m y x m m m           

*

3 1 2

3 1 2

3

,

m p

m q

p q y

p q p q

               



.

 

2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1

p q p p q p

q p

p p

q p q



                           

(mâu thuẫn).

Do vậy tất cả các cặp số tự nhiên   ;x y thỏa mãn đề bài là     0;1 ; 1;1 ; 2;3 .

0,25

2.b (1,5 điểm)

Cho ,a b là hai số nguyên dương sao cho 2 2 p a b   là số nguyên tố và 5 p  chia hết cho 8. Xét ,x y là hai số nguyên sao cho 2 2 ax by  chia hết cho p . Chứng minh ,x y cùng chia hết cho .p

(1,5)

Ta có 5 8 p  suy ra 8 5 ( ) p k k   . 0,25

Vì       4 2 4 2 2 2 2 2 k k ax by ax by p       nên 4 2 8 4 4 2 8 4 k k k k a x b y p        

0,25

Ta có     4 2 8 4 4 2 8 4 4 2 4 2 8 4 4 2 8 4 8 4 k k k k k k k k k k a x b y a b x b x y                  .

0,25

Do       2 1 2 1 4 2 4 2 2 2 2 2 k k k k a b a b a b p           và b p  nên 8 4 8 4 (1) k k x y p    

0,25

Nếu trong hai số ,x y có một số chia hết cho p thì từ (1) suy ra số thứ hai cũng chia hết cho

p .

0,25