Đề học sinh giỏi cấp tỉnh Toán THCS năm 2023 - 2024 sở GDĐT Bình Phước

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BÌNH PHƯỚC

ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm có 01 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THCS NĂM HỌC 2023-2024 Môn : Toán Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 09/03/2024 Câu 1. (5.0 điểm).

1. Cho biểu thức: 2 4 8 . 8 2 4 4 2 x x x x P x x x x x x

   + + = − −    − + + +   

.

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tính giá trị của P khi 7 4 3 x = + .

2. Tính giá trị của a b + biết ( )( ) 2 2 2024 2024 2024 a a b b + + + + = .

Câu 2. (5.0 điểm). 1. Một công ty vận tải dự định chở 54 tấn hàng để hưởng ứng phong trào “Hướng về Miền Trung thân yêu”. Nhưng khi chuẩn bị khởi hành thì số hàng hóa đã tăng thêm 6 tấn so với dự định. Vì vậy công ty phải bổ sung thêm 3 xe, lúc này mỗi xe chở ít hơn dự định 1 tấn hàng. Hỏi ban đầu công ty dự định dùng bao nhiêu chiếc xe để chở hàng, biết các xe chở số tấn hàng bằng nhau.

2. Giải hệ phương trình :

( )

2 2 3 2 3 4 3

3 3

y xy y x

y y x y

 + + = +  − = − 

.

3. Cho Parabol 2 ( ) : P y x = và đường thẳng ( ) : 4 d y mx = + (với m là tham số).

a) Chứng minh đường thẳng ( ) d luôn cắt đồ thị ( ) P tại hai điểm phân biệt.

b) Gọi 1 2 , x x là hoành độ giao điểm của ( ) P và ( ) d . Tìm m để 1 1 2 2 2 2 1 2

2 2 3 mx x x mx T x x − + + = +

nhận giá trị nguyên. Câu 3. (5.0 điểm). Cho đường tròn tâm O đường kính AB . Trên cùng nữa mặt phẳng bờ AB , vẽ các tiếp tuyến , Ax By của ( ) O và lấy điểm C sao cho CA CB < . Trên đoạn OA lấy điểm D ( D

khác , O A). Đường thẳng vuông góc với CD tại C cắt , Ax By lần lượt tại E , F . Đoạn thẳng AC

cắt DE tại G , BC cắt DF tại H , OC cắt GH tại I . Gọi , J K lần lượt là trung điểm của , . DE DF

a) Chứng minh AGE ∆ đồng dạng FHC ∆ . b) Chứng minh I là trung điểm của GH và , , I J K thẳng hàng. c) Gọi M là giao điểm của JO và DK . Chứng minh JOK ∆ vuông và , , DE IM KO đồng quy.

Câu 4. (2.0 điểm). Cho nữa đường tròn ( ) ; O R đường kính AB . M là điểm di động trên nữa đường tròn (M không trùng với , A B ). Qua M kẻ tiếp tuyến với nữa đường tròn. Gọi , D C lần lượt là hình chiếu của , A B trên tiếp tuyến ấy. Tìm vị trí của M để tứ giác ABCD có diện tích lớn nhất. Câu 5. (3.0 điểm).

1. Cho các số [ ] , , 0;1 a b c∈ . Chứng minh: 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 16 12 6 3 5 a a b b b c c c a 2 − + − + − ≤ .

2. Tìm tất cả các cặp số nguyên ( ) ;x y thỏa mãn phương trình: ( ) 2 2 3 2 1 4( 0 ) 2 x y xy y + − − + = .

-----------------------HẾT----------------------- • Thí sinh không được sử dụng tài liệu. • Giám thị không giải thích gì thêm.

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BÌNH PHƯỚC ĐỀ CHÍNH THỨC (Hướng dẫn chấm có 7 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THCS NĂM HỌC 2023-2024 Môn : Toán Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 09/03/2024 HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM

Câu ĐÁP ÁN Thang

điểm

Câu 1 (5.0 đ).

1. Cho biểu thức: 2 4 8 . 8 2 4 4 2 x x x x P x x x x x x

   + + = − −    − + + +   

.

a) Rút gọn biểu thức P.

2.25đ

a) Điều kiện:

0 0. 4 8 0

x x x x x

≥  ≥   ⇔  ≠ − ≠   

0.5

Khi đó ta có :

3 3

3 3 2 4 2 2 4 4 2 2

x x x P x x x x x

    + + = − −      + + + −   

0.5

( ) ( )( )

( )( ) ( )

2 4 2 2 2 4 . 2 2 4 2 2

x x x x x x x x x x x

  + − − + − +   = −   − + + +  

0.5

( )( )

2 4 2 4 . 2 2 2 4

x x x x x x x x

  + + − + = −   − + +  

0.25

1 4 4 . 2 2 x x x − + = −

( )

2 2 1 . 2 2

x

x

− = −

2 2 x − =

0.5

b) Tính giá trị của P khi 7 4 3 x = + . 0.75

Khi 7 4 3 x = + ta có ( )

2 2 3 2 7 4 3 2 2 2 P + − + − = =

2 3 2 3 2 2 + − = =

0.5

0.25

2. Tính a b + biết ( )( ) 2 2 2024 2024 2024 a a b b + + + + = . 2đ

Ta có : ( )( ) 2 2 2 2 2024 2024 2024 2024 a a a a a a + + + − = + − = .

0.5

Kết hợp với giả thiết ta suy ra 2 2 2024 2024 a a b b + − = + +

0.5