Đề học sinh giỏi Toán 9 năm 2023 - 2024 phòng GDĐT Châu Đức - BR VT

UBND HUYỆN CHÂU ĐỨC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

NĂM HỌC 2023 – 2024 - MÔN: TOÁN

Ngày thi: 06/03/2024 Thời gian làm bài:150 phút

Bài 1. (6.0 điểm)

a) Rút gọn biểu thức  

  

 − + + +  

  



+

− + −

+ = xy xy y x xy

y x

xy

y x P 1 2 1 : 1 1 với 1 ;0 ;0 ≠ ≥ ≥ xy y x .

b) Chứng minh rằng với n là số chẵn thì 96 20 3 + + = n n A chia hết cho 48. c) Tìm số tự nhiên có 2 chữ số sao cho tích của số đó với tổng các chữ số của nó bằng tổng lập phương các chữ số của số đó. Bài 2. (3.0 điểm)

a) Giải phương trình ( ) 13 5 1 1 = + − + x x x .

b) Giải hệ phương trình x + y + 4 xy =16

x + y =10

 

.

Bài 3. (3.0 điểm) a) Cho đường thẳng ( ): ( 2) 2 1 d y m x m = − + − (m là tham số). Tìm giá trị của m để khoảng

cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng ( ) d có giá trị bằng 2.

b) Cho 0 ;0 > > y x và 1 ≤ + y x . Tìm giá trị nhỏ nhất của

2 2 1 1 1 y x y x P +  

  

 + = .

Bài 4. (5.0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( ) O và điểm D bất kì trên cạnh AB. Gọi

M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và CA. Gọi P và Q là các giao điểm của MN với

đường tròn ( ) O (điểm P thuộc cung nhỏ BC và điểm Q thuộc cung nhỏ CA). Gọi I là giao điểm

khác B của BC với đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP. Gọi K là giao điểm của DI với AC. a) Chứng minh tứ giác CIPK nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh PD QB QC PK . . = .

c) Gọi G là giao điểm khác P của AP với đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP. Đường thẳng IG

cắt BA tại E. Chứng minh khi D di chuyển trên cạnh AB thì tỉ số AE AD không đổi.

Bài 5. (2.0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, tia phân giác của góc A cắt BC ở D. Gọi M, N

lần lượt là hình chiếu của B, C lên đường thẳng AD. Chứng minh ( ) CN BM AD + ≤2 1 .

--------Hết--------

Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ……………………………..

Số báo danh:……………………………………

Họ, tên chữ ký GT 1: ………………………………...

Họ, tên chữ ký GT 2: …………………………………

ĐỀ CHÍNH THỨC

UBND HUYỆN CHÂU ĐỨC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

NĂM HỌC 2023 – 2024 - MÔN: TOÁN HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 9 I. Hướng dẫn chung: 1) Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với các ý cơ bản học sinh phải trình bày, nếu học sinh giải theo cách khác mà đúng và đủ các bước thì vẫn cho điểm tối đa. 2) Điểm toàn bài là tổng điểm của các ý, các câu và không làm tròn. II. Đáp án và thang điểm: Bài 1. (6.0 điểm)

a) Rút gọn biểu thức  

  

 − + + +  

  



+

− + −

+ = xy xy y x xy

y x

xy

y x P 1 2 1 : 1 1

với 1 ;0 ;0 ≠ > > xy y x .

b) Chứng minh rằng với n là số chẵn thì 96 20 3 + + = n n A chia hết cho 48. c) Tìm số tự nhiên có 2 chữ số sao cho tích của số đó với tổng các chữ số của nó bằng tổng lập phương các chữ số của số đó.

Câu Nội dung trình bày Điểm a) (2.0đ)  

  

 − + + + −  

  



− + − − + − + + + = xy xy y x xy xy x y y y x x xy x y y y x x P 1 2 1 : 1 1 0.5

 

  

 − + + +  

  



− + = xy xy y x xy x y x P 1 1 : 1 2 2 0.5

( )

( )( ) x x y x xy xy y x P + = + + − − + = 1 2 1 1 1 . 1 1 2 0.5x2

b) (2.0đ)

Ta thấy 48 3.16 = và ( ) 3;16 1 = nên để chứng minh A chia hết cho 48 ta chứng

minh A chia hết cho 3 và A chia hết cho 16.

0.5

Ta có ( ) ( ) 3 3 n 20n n n 21n n 1 n n 1 21n + = − + = − + + nên 3 n 20n + chia hết cho 3.

Do đó suy ra A chia hết cho 3.

0.5

Mặt khác do n là số chẵn, khi đó ta đặt n 2k = với k là một số tự nhiên. Từ đó ta có

( ) ( ) ( ) ( )

3 3 3 3 n 20n 2k 20.2k 8k 40k 8 k k 48k 8 k 1 k k 1 48k + = + = + = − + = − + +

Suy ra 3 n 20n + chia hết cho 16. Từ đó dẫn đến A chia hết cho 16.

0.5

Vậy A chia hết cho 48 với mọi n là số tự nhiên chẵn. 0.5 c) (2.0đ)

Gọi số cần tìm là ab với 9 , 0 ; , ≤ < Ν ∈ b a b a

Theo đề bài, ta có: ( ) 3 3 b a b a ab + = +

0,5

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )1 3 3 3 10

10 10

2

2 2 2 2

− + + = + ⇔ − + = + ⇔

+ − = + ⇔ + − + = + + ⇔

b a b a b a ab b a b a

b ab a b a b ab a b a b a b …