Đề học sinh giỏi Toán 9 cấp tỉnh năm 2023 - 2024 sở GDĐT Gia Lai

ĐỀTHI VÀ LỜI GIẢI HSG TOÁN 9 TỈNH GIA LAI 2024

PHAN MINH ĐỨC* - NGUYỄN KHẮC GIA KIÊN* ĐOÀN MINH DŨNG* - NGUYỄN HỮU CHIẾN THẮNG∗

Ngày 7 tháng 3 năm 2024

A. ĐỀTHI:

✓Câu 1: (5 điểm).

a) Rút gọn biểu thức: P =

√x −2 1 + √x −2 + x −3 (1 −√x −2)(1 + √x −2)

! :

√x −2 −4 x −2 −2√x −2 − 2 √x −2

!

với x > 2 và x ̸= 3; x ̸= 6. Tính giá trịbiểu thức P khi x = q

4 + 2 √

3 −( √

5 + 1) q

4 −2 √

3 + √

5( √

3 −1).

b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 3(x2 −xy + y2) = 7(x + y).

✓Câu 2: (5 điểm). a) Giải phương trình: √2x −1 + x2 −3x + 1 = 0.

b) Trong một buổi họp mặt giữa hai lớp 8A và 8B có tất cả62 học sinh tham gia. Các bạn lớp 8B tính sốngười quen ởlớp 8A và thấy rằng: bạn thửnhất lớp 8B quen 13 bạn ởlớp 8A, bạn thứhai lớp 8B quen 14 bạn ởlớp 8A, bạn thứba lớp 8B quen 15 bạn ởlớp 8A và cứnhư vậy đến bạn cuối cùng của lớp 8B quen tất cảcác bạn của lớp 8A. Tính sốhọc sinh mỗi lớp tham gia họp mặt.

✓Câu 3: (5 điểm). Cho đường tròn (I; R) nội tiếp tam giác ABC, biết tam giác ABC cân tại A và d ABC = 1200, AB = 2(2+ √

3) Đường tròn (I; R) tiếp xúc các cạnh AB, AC lần lượt tại D, E. Một tiếp tuyến của đường tròn tại điểm bất kì thuộc cung nhỏDE cắt các cạnh AB, AC tương ứng tại M và N.

a) Chứng minh rằng: MN 2 = AM 2 + AN 2 + AM.AN. b) Tính bán kính R của đường tròn (I; R).

c) Chứng minh rằng: 2

3 < MN < 1.

✓Câu 4: (1 điểm). Trong hộp có chứa 2024 viên bịmàu (mỗi viên bịchỉcó đúng một màu) trong đó có 675 viên bịmàu đỏ, 657 viên bịmàu xanh, 675 viên bịmàu tím và 17 viên bịcòn lại là các viên bịmàu vàng hoặc màu trắng (mỗi màu có ít nhất một viên). Người ta lấy ra từhộp 123 viên bịbất kì. Chứng minh rằng, trong sốcác viên bịvừa lấy ra luôn có ít nhất 36 viên bí cùng màu. Nếu người ta chỉlấy ra từhộp 122 viên bịbất kì thì kết luận trên của bải toán còn đúng không?

∗10C3A - TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - GIA LAI

1

c Toán học Đềthi và lời giải HSG toán 9 tỉnh Gia Lai 2024

✓Câu 5: (2 điểm).

Cho tam giác ABC có d ABC = 600. Chứng minh rằng: BC2

AB2 + BC2

AC2 ≥2.

✓Câu 6: (2 điểm). Tính giá trịlớn nhất của biểu thức: A = 25 √

3x2 −3x4 + 2 √

4x2 + 9x4 (với x ∈R; 0 ≤x ≤1).

2

c Toán học Đềthi và lời giải HSG toán 9 tỉnh Gia Lai 2024

B. LỜI GIẢI:

✓Câu 1: (5 điểm). a) Rút gọn biểu thức:

P =

√x −2 1 + √x −2 + x −3 (1 −√x −2)(1 + √x −2)

! :

√x −2 −4 x −2 −2√x −2 − 2 √x −2

!

với x > 2 và x ̸= 3; x ̸= 6. Tính giá trịbiểu thức P khi x = q

4 + 2 √

3 −( √

5 + 1) q

4 −2 √

3 + √

5( √

3 −1).

b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 3(x2 −xy + y2) = 7(x + y).

L Lời giải. a) Với x > 2 và x ̸= 3; x ̸= 6, ta có:

P =

√x −2 1 + √x −2 + x −3 (1 −√x −2)(1 + √x −2)

! :

√x −2 −4 x −2 −2√x −2 − 2 √x −2

!

=

√x −2.(1 −√x −2) + x −3

(1 + √x −2)(1 −√x −2)

! :

√x −2 −4 √x −2.(√x −2 −2) − 2 √x −2

!

=

√x −2 −1 (1 + √x −2)(1 −√x −2)

! :

√x −2 −4 −2(√x −2 −2) √x −2.(√x −2 −2)

!

=

−(1 −√x −2) (1 + √x −2)(1 −√x −2)

! :

−√x −2 √x −2.(√x −2 −2)

!

=

−1 1 + √x −2)

! :

−1 √x −2 −2

! = √x −2 −2 1 + √x −2.

Vậy P = √x −2 −2 1 + √x −2 với x > 2 và x ̸= 3; x ̸= 6.

Ta có: x = q

4 + 2 √

3 −( √

5 + 1) q

4 −2 √

3 + √

5( √

3 −1)

= q

( √

3 + 1)2 −( √

5 + 1) q

( √

3 −1)2 + √

5( √

3 −1)

= √

3 + 1 −( √

5 + 1)( √

3 −1) + √

5( √

3 −1)

= √

3 + 1 − √

15 + √

5 − √

3 + 1 + √

15 − √

5 = 2.

o Lưu ý: Do theo đềbài điều kiện x > 2 mà đềlại yêu cầu tính giá trịtại x = 2 nên có lẽởđây đềbịlỗi.

b) Ta có: 3(x2 −xy + y2) = 7(x + y) ⇔3x2 −(3y + 7)x + 3y2 −7y = 0. Ta coi phương trình trên là phương trình bậc 2 ẩn x. Đểphương trình có nghiệm thì

∆≥0 <=> −27y2 + 126y + 49 ≥0

⇒−0, 3 ≤y ≤5

Mà y ∈Z ⇒y ∈{0; 1; 2; 3; 4; 5} TH1: y = 0 ⇒3x2 −7x = 0 ⇔x = 0. TH2: y = 1 ⇒3x2 −10x −4 = 0 (loại vì phương trình trên không có nghiệm nguyên). TH3: y = 2 ⇒3x2 −13x −2 = 0 (loại vì phương trình trên không có nghiệm nguyên). TH4: y = 3 ⇒3x2 −16x + 6 = 0 (loại vì phương trình trên không có nghiệm nguyên).

3