Đề học sinh giỏi tỉnh Toán 9 năm 2023 - 2024 sở GDĐT Nghệ An

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

NGHỆ AN

ĐỀ CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9

NĂM HỌC 2023 – 2024 Môn thi: TOÁN – BẢNG A

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (3,0 điểm).

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên (m,n) thỏa mãn:

2 2024n m m 3 19.   

b) Cho a,b,c,d là các số nguyên biết a 3b c 2d   . Chứng minh rằng

2 2 2 2 a 9b c 4d    viết được dưới dạng tổng ba số chính phương.

Câu 2 (7,0 điểm).

a) Giải hệ phương trình

3

2 (x y) (x y)(xy x y) xy 0

y(y 2)(y 5)(x 2) 35x .

             

b) Giải phương trình

2 2 2 2 4(x 1) x 1 4(x 1) x 1 (x 2)(x 2x).      

Câu 3 (1,5 điểm). Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn 2c 3b abc   .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 5 7 8 P . b c a a b c a c b      

Câu 4 (7,5 điểm). Cho đường tròn (O;R) cố định và điểm A cố định nằm ngoài đường tròn

(O;R) . Từ điểm Avẽ hai tiếp tuyến AB,AC tới đường tròn (O;R) (B,Clà các tiếp điểm). Qua Avẽ đường thẳng cố định cắt đường tròn (O;R) tại hai điểm phân biệt I và E (Inằm giữa hai

điểm A ,E và  0 EBC 90  ). Gọi H là giao điểm của AO và BC. Qua H vẽ đường thẳng (d) song song với BE , biết (d) cắt các đường thẳng BI,BA lần lượt tại Q và N . Đường thẳng BE cắt đường thẳng AO tại K . Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng AQ và BK.

a) Chứng minh rằng BI BE . CI CE 

b) Chứng minh rằng HB là đường phân giác của  NHM .

c) Vẽ đường tròn 1 (P;R ) thay đổi nhưng luôn đi qua hai điểm I và E. Từ Avẽ hai tiếp tuyến AD,AJ với đường tròn 1 (P;R ) ( D,J là các tiếp điểm). Gọi T là giao điểm của hai đường thẳng DJ và AE. Chứng minh đường tròn đường kính TP luôn đi qua 2 điểm cố định.

Câu 5 (1,0 điểm). Trong phòng có 121 người, biết mỗi người quen với ít nhất 81 người khác. Chứng minh rằng trong phòng phải có 4 người từng đôi một quen nhau.

……………HẾT……………

Họ và tên thí sinh………………………………… Số báo danh……………………

Chú ý: Thí sinh không được phép sử dụng máy tính bỏ túi.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ

AN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9

NĂM HỌC 2023 – 2024 Môn thi: TOÁN – Bảng A

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Môn thi: TOÁN – Bảng A

(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)

Câu ĐÁP ÁN THAM KHẢO Điểm

Câu 1a

(2,0 )

Tìm tất cả các cặp số nguyên (m,n) thỏa mãn: 2 2024n m m 3 19.   

Trường hợp 1: với n < 0,

2 m m  là số nguyên,

2024n 3 19  không phải số nguyên ( loại) 0,25

Trường hợp 2: Với n 0  2 2 m m 20 m m 20 0 (m 4)(m 5) 0           

m 4   ( thỏa mãn), m 5  ( thỏa mãn)

0,5

Trường hợp 3: Với n 0  : Ta có

2024n 3 19  chia 3 dư 1 0,5

Ta có 2 m m m(m 1)    , nếu m = 3k, m = 3k+2 m(m 1) 3    0,25

Nếu m = 3k+1 m(m 1)   chia 3 dư 2 2 2024n m m 3 19     ( vô lí) 0,25

Vậy (m,n) (4,0)  , (m,n) ( 5,0)  0,25

Câu 1b

(1,0)

Cho a,b,c,d là các số nguyên biết a 3b c 2d   . Chứng minh rằng 2 2 2 2 a 9b c 4d    viết được

dưới dạng tổng ba số chính phương.

Từ a 3b c 2d a 3b c 2d 0 2a(a 3b c 2d) 0           0,5

Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 a 9b c 4d a 9b c 4d 2a(a 3b c 2d)          

2 2 2 2 2 2 2 2 a 9b c 4d 2a 6ab 2ac 4ad (a c) (a 2d) (a 3b)               ( điều phải chứng minh)

0,5

Câu 2a

(3,5)

Giải hệ phương trình

3

2 (x y) (x y)(xy x y) xy 0(1)

y(y 2)(y 5)(x 2) 35x (2)

            

Từ PT (1) 3 2 (x y) (x y) (x y)xy xy 0         2 2 (x y 1)(x xy y ) 0      1,0

Trường hợp 1:

2 2 2 2 1 3 x xy y 0 x y y 0 x y 0 2 4

                 

thỏa mãn PT (2) 1,0

Trường hợp 2: x y 1 0 y x 1     thay vào phương trình (2)

Ta có: 2 (x 1)(x 6)(x 3)(x 2) 35x      0,5