Đề học sinh giỏi cấp tỉnh Toán THCS năm 2023 - 2024 sở GDĐT Hưng Yên

Đềthi và lời giải HSG Toán 9 Hưng Yên 2024 Trang 1

ĐỀTHI VÀ LỜI GIẢI HSG TOÁN 9 HƯNG YÊN 2024

0.1 ĐỀTHI

Câu 1 (4,0 điểm). Cho biểu thức A =

√x + 3 √x −1 + √x + 1 3 −√x + √x + 7 x −4√x + 3

! :

1 − √x √x + 1

!

với x ≥0, x ̸= 1, x ̸= 9.

a) Rút gọn và tính giá trịcủa biểu thức A khi x = 7 −4 √

3.

b) Tìm giá trịnhỏnhất của biểu thức 1

A.

Câu 2 (4,0 điểm).

a) Trong mặt phẳng toạđộOxy, cho điểm M(3; 5). Lập phương trình đường thẳng d đi qua M và

cắt các tia Ox, Oy tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 30 (đvdt).

b) Tìm tất cảcác cặp sốnguyên (x, y) thỏa mãn: y2(x −4)2 −x3 + 10x2 −32x + 14 = 0.

Câu 3 (4,0 điểm).

a) Giải phương trình: 3√x −1 −√x + 3 + 3 √

x2 + 2x −3 = 5x −3.

b) Giải hệphương trình:

   

  

√x + 1 + √xy −2x + y −2 + x + 5 = 2y + √y −2 xy + 3x −6y −18

x2 −6x + 12 = (y −3) √x + 3 −3

Câu 4 (2,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC có H, G lần lượt là trực tâm, trọng tâm và HG song song

với BC. Tính tan B · tan C.

Câu 5 (4,0 điểm). Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm H cốđịnh thuộc đoạn thẳng

OA (H không trùng với O và A). Đường thẳng vuông góc với AB tại H cắt nửa đường tròn tâm O tại

C. Gọi D là điểm đối xứng với A qua C; I, J lần lượt là trung điểm của CH và DH.

a) Chứng minh hai tam giác CHJ và HBI đồng dạng.

b) Gọi Bx là tia tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm O. Lấy điểm E di động trên Bx (E không trùng

với B). Đường thẳng qua H vuông góc với AE cắt đường thẳng BE tại F. Chứng minh đường

tròn đường kính EF luôn đi qua hai điểm cốđịnh khi E di động trên tia Bx.

Câu 6 (2,0 điểm). Cho a, b, c là các sốthực dương thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm giá trịnhỏnhất của

biểu thức A = 12(a2 + b2 + c2) + 4(ab + bc + ca)

a2 + b2 + c2 + 2024.

—— HẾT ——

Trang 2 Đềthi và lời giải HSG Toán 9 Hưng Yên 2024

0.2 LỜI GIẢI

Câu 1

Cho biểu thức A =

√x + 3 √x −1 + √x + 1 3 −√x + √x + 7 x −4√x + 3

! :

1 − √x √x + 1

!

với x ≥0, x ̸= 1, x ̸= 9.

a) Rút gọn và tính giá trịcủa biểu thức A khi x = 7 −4 √

3.

b) Tìm giá trịnhỏnhất của biểu thức 1

A.

Lời giải

a) Ta có:

A =

√x + 3 √x −1 + √x + 1 3 −√x + √x + 7 x −4√x + 3

! :

1 − √x √x + 1

!

A = (√x + 3)(√x −3) −(√x + 1)(√x −1) + √x + 7

(√x −1)(√x −3) : 1 √x + 1

A = x −9 −x + 1 + √x + 7

(√x −1)(√x −3) · (√x + 1)

A = √x −1 (√x −1)(√x −3) · (√x + 1).

A = √x + 1 √x −3

Vậy A = √x + 1 √x −3 với x ≥0, x ̸= 1, x ̸= 9.

Ta có: x = 7 −4 √

3 = (2 − √

3)2 nên √x = 2 − √

3.

Thay √x = 2 − √

3 vào biểu thức A = √x + 1 √x −3 ta được: A = 2 − √

3 + 1 2 − √

3 −3 = 3 − √

3 −1 − √

3 = 3 −2 √

3.

Vậy A = 3 −2 √

3 tại x = 7 −4 √

3

b) Ta có: 1

A = √x −3 √x + 1 = 1 − 4 √x + 1.

Vì √x + 1 ≥1 nên 4 √x + 1 ≤4 ⇒1

A = 1 − 4 √x + 1 ≥1 −4 = −3.

Dấu "=" xảy ra ⇔√x + 1 = 1 ⇔x = 0 (thỏa mãn ĐKXĐ).

Vậy giá trịnhỏnhất của biểu thức 1

A là −3 khi x = 0

Đềthi và lời giải HSG Toán 9 Hưng Yên 2024 Trang 3

Câu 2

a) Trong mặt phẳng toạđộOxy, cho điểm M(3; 5). Lập phương trình đường thẳng d đi qua

M và cắt các tia Ox, Oy tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng

30 (đvdt).

b) Tìm tất cảcác cặp sốnguyên (x, y) thỏa mãn: y2(x −4)2 −x3 + 10x2 −32x + 14 = 0.

Lời giải

a) .

−1 3 −1

5

x

y

M

O

B

A

Gọi (d) : y = ax + b (a ̸= 0) là đường thẳng đi qua M và cắt các tia Ox, Oy tại A, B.

Vì (d) cắt tia Ox tại A nên A có hoành độdương, tọa độđiểm A là

−b

a; 0

!

⇒OA =

−b

a

= −b

a. (1)

Vì (d) cắt tia Oy tại B nên B có tung độdương, tọa độđiểm B là (0; b) ⇒OB = |b| = b (2)

Từ(1), (2) ⇒a < 0, b > 0.