Đề học sinh giỏi Toán 9 cấp thành phố năm 2023 - 2024 sở GDĐT Đà Nẵng

GIẢI ĐỀTHI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 THÀNH PHỐĐÀ NẴNG 2023-2024 Người thực hiện: Phan Thanh Tịnh (K36 THPT chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng)

1 Đềbài

Thời gian: 150 phút (không kểthời gian giao đề) Ngày thi: 29/2/2024

Câu 1. (3,0 điểm) a) Tính A = p

6 − √

20 + p

5 + √

24 − p

7 + √

40. b) Sốtiền mua một máy tính và một bộsách là 850 nghìn đồng. Nếu lấy sốtiền mua máy tính đem chia cho sốtiền mua bộsách thì được thương là 2 và sốdư là 100 nghìn đồng. Hỏi giá mỗi chiếc máy tính và giá mỗi bộsách là bao nhiêu?

c) Giải hệphương trình:

  

 

x + p

y2 = 0 y + √

z2 = 0 z + √

x2 = 2024 .

Câu 2. (1,5 điểm) Cho biểu thức P = Å √a √a + 1 + √a −1 √a

ã · Å 1 + 1 √a

ã .

a) Tìm điều kiện của a đểbiểu thức P có nghĩa và rút gọn P. b) Tìm tất cảcác giá trịthực của a đểP nhận giá trịnguyên dương. Câu 3. (1,5 điểm) Trên mặt phẳng toạđộ, cho đường thẳng y = mx −2m + 4 (d), với m là tham sốvà O là gốc toạđộ. a) Tìm toạđộđiểm A cốđịnh mà đường thẳng (d) luôn đi qua với mọi m. b) Với mỗi giá trịcủa m, gọi R là bán kính của đường tròn tâm O tiếp xúc (d). Tìm m đểbán kính R lớn nhất. Câu 4. (1,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn (O). Lấy điểm M bất kì trên cạnh AC (M khác A và C) và gọi D là trung điểm của đoạn thẳng MC. Tia BM cắt đường tròn (O) tại điểm thứhai là E. Chứng minh rằng khi M thay đổi, đường thẳng DE luôn tiếp xúc với một đường tròn cốđịnh. Câu 5. (2,5 điểm) Cho hình vuông ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AB, CD. Gọi H là hình chiếu của B lên đường thẳng CM và E là trung điểm của đoạn thẳng CH. a) Chứng minh rằng DE ∥BH và AN là đường phân giác góc EAD. b) Gọi G là giao điểm của DH và AE, T là giao điểm của AN và BH. Chứng minh rằng MC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác GDT. Câu 6. (0,5 điểm) Trong một cuộc thi, Giám khảo giao nhiệm vụcho đội của hai bạn Giáp và Thìn như sau: "Bạn Giáp nghĩ và viết ra giấy bảy sốtựnhiên khác nhau có tổng bằng 2024, bí mật gửi cho Giám khảo và chỉnói với bạn Thìn sốlớn thứtư trong bảy sốnày. Sau đó bạn Thìn phải đoán ra tất cảcác sốbạn Giáp đã viết". Hỏi bạn Giáp phải viết ra những sốnào đểđội của các bạn Giáp, Thìn thắng trong cuộc thi đó, vì sao?

1

2 Lời giải

Câu 1. (3,0 điểm) a) Tính A = p

6 − √

20 + p

5 + √

24 − p

7 + √

40. b) Sốtiền mua một máy tính và một bộsách là 850 nghìn đồng. Nếu lấy sốtiền mua máy tính đem chia cho sốtiền mua bộsách thì được thương là 2 và sốdư là 100 nghìn đồng. Hỏi giá mỗi chiếc máy tính và giá mỗi bộsách là bao nhiêu?

c) Giải hệphương trình:

  

 

x + p

y2 = 0 y + √

z2 = 0 z + √

x2 = 2024 .

Lời giải: a)

A = »

6 − √

20 + »

5 + √

24 − »

7 + √

40

= »

6 −2 √

5 + »

5 + 2 √

6 − »

7 + 2 √

10

=

…Ä√

5 −1 ä2 +

…Ä√

3 + √

2 ä2 −

…Ä√

2 + √

5 ä2

= Ä√

5 −1 ä + Ä√

3 + √

2 ä − Ä√

2 + √

5 ä (vì √

5 −1, √

3 + √

2, √

2 + √

5 > 0)

= √

3 −1.

Vậy A = √

3 −1. □

b) Gọi giá mỗi bộsách là x đồng thì giá mỗi chiếc máy tính là 850000 −x đồng. Vì sốtiền mua máy tính đem chia cho sốtiền mua bộsách thì được thương là 2 và sốdư là 100 nghìn đồng nên

850000 −x = 2x + 100000. (1)

Điều kiện: x ∈N∗, x > 100000 (2). Ta có: (1) ⇔750000 = 3x ⇔x = 250000 (thỏa (2)). Vậy giá mỗi bộsách là 250 nghìn đồng và giá mỗi chiếc máy tính là 850 −250 = 600 nghìn đồng.□

c) ĐKXĐ: y2, z2, x2 ≥0 (luôn đúng).   

 

x + p

y2 = 0 (1)

y + √

z2 = 0 (2)

z + √

x2 = 2024 (3)

(I).

Vì p

y2 ≥0 nên từ(1), ta có x ≤0. Vì √

z2 ≥0 nên từ(2), ta có y ≤0. Do đó:

(I) ⇔

  

 

x −y = 0 y + |z| = 0 z −x = 2024 ⇔

  

 

y = x x + |x + 2024| = 0 z = x + 2024 .

x + |x + 2024| = 0 ⇔





ß x + x + 2024 = 0 x + 2024 ≥0 ß x −x −2024 = 0 x + 2024 < 0

⇔





ß x = −1012 x ≥−2024 ß x = 1012 x < −2024

⇔x = −1012.

Do đó, hệcó 1 nghiệm (x; y; z) = (−1012; −1012; 1012). □

2