Đề học sinh giỏi Toán THCS năm 2023 - 2024 phòng GDĐT Buôn Ma Thuột - Đắk Lắk

ĐỀTHI VÀ LỜI GIẢI HSG TOÁN 9 TPBMT 2024

HOÀNG VĂN QUYỀN∗ NGUYỄN HUY GIA BẢO †

NGUYỄN NGỌC DUY ‡

Ngày 27 tháng 2 năm 2024

§1 ĐỀTHI

Câu 1 (4,0 điểm).

1. Cho biểu thức: M =



 1

1 + 2√x + 1 √

3

2 + 1

1 + 2√x −1 √

3

2



. 5 x + 1 với x > 0

Rút gọn biểu thức M và tìm tất cảcác sốtựnhiên x đểgiá trịbiểu thức 15

4M −3

2 là sốnguyên tố

2. Giải phương trình: x2 + x + 4 −(2 + x) √

x2 −x + 4 = 0

Câu 2 (4,0 điểm).

1. Cho Parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d) : y = 2(m −1)x −m + 3. Tìm m để(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho A và B cách đều trục Oy. Khi đó tính độdài đường trung tuyến OM của tam giác OAB.

2. Cho các sốdương x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 3xyz. Chứng minh rằng

x3

z + x2 + y3

x + y2 + z3

y + z2 ≥1

2

1

x + 1

y + 1

z

.

Câu 3 (4,0 điểm).

1. Tìm các sốthực x sao cho x + √

2024 và 1

x − √

2024 đều là các sốnguyên.

2. Cho chín sốnguyên dương a1, a2, ..., a9 đều không có ước sốnguyên tốnào khác 3, 5 và 7. Chứng minh rằng trong chín sốđã cho luôn tồn tại hai sốmà tích của hai sốnày là sốchính phương.

Câu 4 (2,0 điểm). Công ty X và công ty Y là hai công ty có uy tín tại Hà Nội mà anh Minh đang có nhu cầu xin vào làm việc. Cảhai công ty đều có chếđộthu hút người tài và đưa ra hình thức trảlương trong thời gian thử việc như sau: Công ty X: Anh Minh nhận được 1500 USD ngay khi ký hợp đồng thửviệc và mỗi tháng sẽđược trảlương 1800 USD. Công ty Y: Anh Minh nhận được 2500 USD ngay khi ký hợp đồng thửviệc và mỗi tháng sẽđược trảlương

∗10A5 THCS-THPT ĐÔNG DU

†9A6 THCS PHẠM VĂN ĐỒNG

‡GV THCS-THPT ĐÔNG DU

1

2 ĐỀTHI VÀ LỜI GIẢI HSG TOÁN 9 TPBMT 2024

1600 USD. Em hãy tư vấn giúp anh Minh lựa chọn công ty nào đểthửviệc sao cho tổng sốtiền thửviệc nhận được là lớn nhất. Biết thời gian thửviệc của cảhai công ty đều từ3 tháng đến 8 tháng.

Câu 5 (4,0 điểm). Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R). TừA kẻhai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE không đi qua tâm đường tròn (O; R) (B, C là tiếp điểm; D nằm giữa A và E). Tiếp tuyến tại D của đường tròn (O) cắt AB, AC theo thứtựtại I và K. Gọi H là giao điểm của AO và BC.

1. Chứng minh ’ BAO = ’ BCO.

2. Chứng minh AH

AD = AE

AO.

3. Tính sốđo góc ∠IOK khi OA = 2R.

4. Qua điểm O kẻđường thẳng vuông góc với OA cắt AB tại P và cắt AC tại Q. Chứng minh rằng IP + KQ ≥ PQ.

Câu 6 (2,0 điểm). Cho tam giác ABC cân đỉnh A. Gọi O là trung điểm của BC. Đường tròn (O) tiếp xúc với

AB ởE, tiếp xúc với AC ởF. Điểm H chạy trên cung nhỏ ⌢ EF, tiếp tuyến của đường tròn tại H cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Xác định vịtrí của điểm H đểdiện tích tứgiác BMNC đạt giá trịnhỏnhất.

2

3 ĐỀTHI VÀ LỜI GIẢI HSG TOÁN 9 TPBMT 2024

§2 LỜI GIẢI

Câu 1 (4,0 điểm)

1. Cho biểu thức: M =



 1

1 + 2√x + 1 √

3

2 + 1

1 + 2√x −1 √

3

2



. 5 x + 1 với x > 0

Rút gọn biểu thức M và tìm tất cảcác sốtựnhiên x đểgiá trịbiểu thức 15

4M −3

2 là sốnguyên tố

2. Giải phương trình: x2 + x + 4 −(2 + x) √

x2 −x + 4 = 0

Lời giải.

1. ĐKXĐ: x > 0

Ta có M = 3 3 + (2√x + 1)2 + 3 3 + (2√x −1)2

. 5 x + 1

= 18 + 3(2√x + 1)2 + 3(2√x −1)2

[3 + (2√x + 1)2] [3 + (2√x −1)2]. 5 x + 1 = 24(x + 1) 16x2 + 16x + 16. 5 x + 1 = 15 2x2 + 2x + 2.

Do đó 15

4M −3

2 = x2 + x −2

2 = (x −1)(x + 2)

2 . Đặt (x −1)(x + 2)

2 = p (p là sốnguyên tố)

Ta có x là sốtựnhiên nên x + 2 > x −1 suy ra x −1 = 1 x −1 = 2 .

TH1: x −1 = 1 ⇒x = 2 ⇒p = x + 2

2 = 2 (thoảmãn)

TH2: x −1 = 2 ⇒x = 3 ⇒p = x + 2 = 5 (thỏa mãn). Vậy x ∈{2; 3}

2. ĐKXĐ: x2 −x + 4 > 0 ⇔ x −1

2

2 + 15

4 > 0 (luôn đúng)

x2 + x + 4 −(2 + x) √

x2 −x + 4 = 0 ⇔x2 + x + 4 = (2 + x) √

x2 −x + 4 ⇒(x2 + x + 4)2 = (2 + x)2(x2 −x + 4) ⇔x4 + 2x3 + 9x2 + 8x + 16 = x4 + 3x3 + 4x2 + 12x + 16

⇔x3 −5x2 + 4x = 0 ⇔x(x2 −5x + 4) = 0 ⇔x(x −1)(x −4) = 0 ⇔



 x = 0 x = 1 x = 4 Thửlại thấy thỏa mãn. Vậy phương trình có nghiệm là x ∈{0; 1; 4}

Nhận xét 2.1.

1. Đây là bài toán rút gọn biểu thức đại sốkhá quen thuộc, kèm theo câu hỏi phụvềsốhọc

2. Ngoài cách giải bằng phương pháp bình phương hai vế, chúng ta còn một cách giải khác …